MF X /X

La série (5) est donc absolument convergente pour toute valeur de X moindre que L en valeur absolue, el, d'après les propriétés des séries entières, elle sera uniformément convergente dans l'intervalle (a, P). Donc, en appliquant le second théorème établi au § 3, nous sommes assuré que la série (5) représente la dérivée de la fonction f{x).

Nous avons donc établi ce théorème très important :

La série

convergente dans l'intervalle (— L, 4- L), définit dans cet intervalle une fonction continue, ayant une dérivée; celle-ci peut être représentée par la série

ai -h laix-^. ..-h nUnX'^-^ -h . . ..

Considérons, comme application, la série

^, , rp' x^ x'^

elle est convergente entre — i et + i : nous aurons

cette dernière série est une progression géométrique décroissante dont la raison est — x"^. On a donc

et de là se conclut le développement

x^ x^ X* arc tangor = a7 :r + -7

ea prenant pour arc tang^ l'arc compris entre — - et H — • Ce développement est valable pour x compris entre — i et -+- 1 . Pour

228 ÉQUATION DE LAPLÀCE. — DÉVKLOPPBUENTS EN SÉRIES.

a; = i, la série du second membre, élant convergente, représenlera arc tang i , c'est-à-dire -•

14. Examinons quelques cas particuliers où la série diverge pour la limite de l'intervalle de convergence. Soit la série

p étant un nombre positif. Cette série sera convergente pour toute valeur de x comprise entre — i et + i , car le rapport d'un terme au précédent a x pour limite. Pour a:= i, la série sera convergente si p est supérieur à l'unrté, elle sera au contraire divergente si p est inférieur à l'unité. Dans ce dernier cas, quand x tend vers l'unité, la série précédente augmente indéfiniment.

Nous plaçant dans l'hypothèse p <,i^ considérons le produit

{i-xy-p¥{x).

Nous allons montrer que ce produit tend vers une limite quand X tend vers un, en lui étant inférieur. On a

X, c-/ X / I „ X{v — xy-t* Xn(\ — XY-I»

(i — xy-p F{x) = {i-xy-P-^ ^,, — +. . .-4- — H-. . . .

Or considérons, pour une valeur fixe de x^ la courbe, rapportée aux axes X et Y, représentée par l'équation

x^(i — xy-P

D'après ce que nous avons expliqué (Chap. I, § 17), la série

,r*(i — xy-p x^(i — xy-p

iP nP

sera comprise entre

Jr*^ x^d — xy-p „, r* x^(i — xy-p

f ^ ^, ^ ^X, et f^ 4)rfX-x(. -.).-..

Si donc l'intégrale

//îx r'xHi-xy-P (6) J^ X.— ^-^

lend vers une limite quand x tend vers Tunilé, celle limile sera celle du produit

Or l'expression (6) a une limite que nous allons facilement trouver. Au lieu de l'intégrale précédente, nous pouvons prendre l'intégrale

qui n'en diffère que par la valeur

qui a un sens parfaitement déterminé, puisque /? < i , et qui tend vers zéro pour j? = i . Posons, dans l'intégrale ( 7 ), x-=. e"^ ; a sera positif et tendra vers zéro.

Nous aurons alors à étudier l'intégrale

«A faisons enfin a X = Y, il vient

L'intégrale qui est en facteur ne dépend plus de a; elle a une valeur parfaitement déterminée, car, pour Y = o, la fonction sous

le signe d'intégration est de l'ordre de y-»/? étant plus petit que

Tunité ; et pour Y très grand, la fonction e~^ est inférieure à toute

puissance y^^ m étant une quantité positive quelconque.

Quand on fait tendre a vers zéro, le premier facteur lend vers l'unité; nous avons donc

lim(i — ar)i-/'F(:r)= r e-^X'PdX.

Si nous introduisons l'intégrale

23o tQUATIOlf DE LAPLICE. — DÉYELOPPEMENTS EN SiRIGS.

dont le sens est déterminé quand /? }> o, et que l'on désigne sous le nom ^intégrale eulérienne de seconde espèce, nous pourrons

écrire

liiïi(i — ar)»-PF(a7) = r(i— />).

15. Du résultat précédent nous allons déduire un théorème démontré par M. Appell \^Sur certaines séries ordonnées par rapport aux puissances croissantes d^ une variable {Comptes rendus, t. LXXXVII)].

Soit une série

f{x) = ao-+-aia?-+--..-+-ûtiiiF'*-+-..., dans laquelle les coefficients a sont positifs. On suppose que

k étant une constante différente de zéro, et/> un nombre positif. La série est évidemment convergente quand x est compris entre 4-1 et — I . Elle diverge pour :r = i , si /? est inférieur à Tunité,

comme la série de terme général — •

Mais le produit

{i—xy-pf{x)

tend vers une limita, comme nous allons le montrer.

La solution sera immédiate, en se reportant au paragraphe précédent.

Nous avons, en effet, à partir d'une certaine valeur de n,

en désignant par ki et Xr^ deux nombres tels que la suite

o, kl, ky A-,

soit rangée par ordre croissant de grandeur.

Prenons dans/(x) les termes à partir du /i**"* seulement, et posons

o{x) = ana:^-h

INTÉGRATION P8S SftHtES. ~ SERIES ENTIÈRES. SiS I

Si Ton considère les deux Siéries

n^ (n-^-if

OD aura

(pi(j:)(c^a?)»-/'<(p(ar)(i-ar)»-P<(p,(ar)(i — a?)!-/*;

mais le premier et le derniier terme oiit reapectivemeot pour limities, quand x teod vers un,

kxV{\—p) et ktV{\—p).

Par saite, le produit /(x)(i — xY'^p sera compris, quand x sera infiniment voisin de l'unité, entre deux limites infiniment voisine des deux limites précédentes. D'autre part, on peut prendre k^ et k^ aussi voisins qu'on veut de Ar; par conséquent, nous pouvons

conclure que

\\vsi(i^xy-Pj{x)^kV{\'-p\

16. C'est dans la théorie des fonctions d'une variable complexe que nous verrons surtout l'intérêt des séries procédant suivant les puissances entières et croissantes de la variable. Nous terminerons ce Chapitre en indiquant une proposition générale déjà connue de Cauchy (*) et retrouvée par M. Hadamard (^) au début de ses belles recherches sur les séries de puissances; elle peut être utile pour déterminer Tintervalle de convergence de la série

a© -H «1 j: + . . . H- a,ia7« H-

Faisons d'abord quelques remarques préliminaires. Soit une suite infinie de nombres positifs

(2) wo, «I, ..., Wi,», ....

Il peut arriver que cette suite contienne des termes supérieurs à tout nombre donné, si grand qu'il soit. Supposons qu'il n'en soit

(«) Cauchy, Cours d'Analyse de l'École Polytechnique, i8ai. {') J. Hadamard, Sur les fonctions données par leur développement de Tayior {Journal de Mathémutiques, iSgî).

232 ÉQUATION DE LAPLACE. — DÉYELOPPEUKNTS EN SÉHIES.

pas ainsi, c'est-à-dire que tous ces nombres restent inférieurs à une quantité assignable L. On pourra alors distinguer deux classes de nombres. Dans la première, on mettra tout nombre A tel qu'il existe toujours dans la suite S, à partir d'un rang aussi élevé que Ton veut, des termes supérieurs à A; on mettra dans la seconde tout nombre B, tel que tous les termes de la suite 21, à partir d'un certain rang, soient moindres que B. Ceci posé, considérons deux de ces nombres A et B (A < B); on peut prendre, par exemple, A = o et B = L. Partageons l'intervalle (A, B) en deux parties égales ; si le point de subdivision est de seconde classe, nous le substituerons à B, sinon nous le substituerons à A. Dans l'un et l'autre cas, nous aurons un intervalle réduit de moitié, dans lequel la limite supérieure sera un nombre de la seconde classe, et la limite inférieure un nombre de la première. On opérera de la même manière sur ce second intervalle, et ainsi de suite. Tous ces intervalles étant compris les uns dans les autres et tendant vers zéro, leurs limites inférieure et supérieure tendront vers une limite a. La quantité positive e étant aussi petite qu'on voudra, a — s appartiendra à la première classe et a -j- e à la seconde.

Cela posé, supposons que la suite des u soit formée des quantités

(S) i ^1 !, /i «2 , •.., Vi «/« Il •• •>

et admettons que \/am soit, quel que soit /n, inférieur à une quantité déterminée. Soit toujours a le nombre correspondant à cette suite. Nous allons démontrer que la série

«0 -h aj J7 -h . . . -i- a,/ x'^ -+-...

consierge si\x\<^- et qu^elle diverge 5/ | x | > -•

En effet, à partir d'une certaine valeur de /i, le nombre positifs étant donné à l'avance, on a

donc

par suite, la série sera convergente si (a -h s). \x\ est plus petit

<]u^un nombre plus peut que l'unité; donc si

la série convergera. Mais s elrj sonl des quanlilés arbitraires aussi petites que l'on voudra; la série convergera donc tant que

De la même manière, on peut trouver dans la suite (S), à partir d'un rang aussi élevé qu'on voudra, un lerme ^a„ tel que

donc

1 a/i^:-' 1 >ia-+-£)" 1 j- !«

I*ar suile, si

on aura

Ia«^«|>i.

La série contiendra donc des termes, d'un rang aussi élevé qu'on voudra, supérieurs à l'unité; elle sera divergente. Le théorème est complètement établi.

17. Quand on prend deux variables au lieu d\ine seule, les séries analogues aux séries ordonnées suivant les puissances entières et croissantes que nous venons d'étudier sont les séries de la forme

OÙ Un{Xy y) désigne un polynôme homogène de degré n en x ely^ Il n^ existe pas de théorème analogue à celui qui est la base de la théorie djs séries entières à une variable : si une série de la forme précédente converge pour x = Xq, y =yo, elle ne convergera pas nécessairement pour

I^KI^a!, \y\<\yo\.

On peut cependant faire la remarque suivante, dans laquelle

a34 ÉQUATION DE LAPLACE. — BÉVBL0PPBMBNT8 EN SÉAIES.

nous imitons ce qui a été fait pour le cas d^unc variable. Écrivons

Supposons que les ternies

aiT^-'ji (* = o. I. •>■, ..., w)

des polynômes u„ soient inférieurs en valeurs absolues à un nombre fixe K. La valeur absolue de Un{^, y) sera moindre que

Soit a la plus grande des deux valeurs

sera moindre que

— et — ; ce terme ^0 1 \yo\

Si donc a est plus petit que l'unité, la série proposée sera convergente. Ainsi, sous l'hypothèse faite, la série convergera pour

Soient a < I ^0 I et 6 < I ro |; la série sera uniformément convergente à l'intérieur du rectangle ayant pour centre l'origine et dont les côtés sont parallèles aux axes avec les longueurs a a et 2&. •

SÉRIES TRI^ONOMÉTRIQLES. a35