I. — Généralités. — Intégrales de Dirichlet
1. Cerlaines séries trigonométriques paraissenl avoir été considérées pour la première fois par Daniel BernouUi, à propos du problème des cordes vibrantes. Ëuler a le premier indiqué le procédé de détermination des coefficients d^une série trigonométi'ique.
Dans un Mémoire de 1777, publié dans les Acta nova Acad. Scient. Petrop,, t. XI, 1798, Euler dit incidemment que, si Ton a le développement valable entre o et 21:^
(1) f{x) = aoH- ^ (a,„ cosmar-t- h,n9\iimx) (m entier positif),
les a et les b étant des constantes, développement auquel on donne le nom de série trigonométriques on pourra déterminer les coefficients de la manière suivante. Remarquons d'abord que Ton a
%\Tim.T %\x\nxdx = Oy %\ m ^ n\
/ cosmx %\nnx dx = 0, même si m = /i ;
cosmarsinnxdx = o, s\ m A n\
/ cos^mxdx = I sin^mxdx = Tt et / dx = it..
Multiplions maintenant les deux membres du développement ( 1 ),
dans lequel on remplace x par a, par cosma rfa, et intégrons entre o et iTZ] on trouve
De la même manière, en multipliant par sin moi doL, on trouve 6//i= - / /(a^sinmacTa;
enfin, pour m = o, on a
Les séries (i), où les coefficients sont exprimés par la loi précédente, sont généralement désignées sous le nom de séries de Fourier, Ce grand géomrlre a, en efi'et, montré dans sa Théorie de /a cArt/e^/r leur extrême importance en Analjrse; il a le premier osé affirmer que toute fonction pouvait être représentée par un développement de ce genre, valable entre o et 27:, et qu\in même développement pouvait, entre ces limites, représenter des fonctions qu'on considérait comme distinctes, c'est-à-dire représentées graphiquement par des arcs de courbes différentes. H y a plus : Fourier, sans traiter cette question d'une manière absolument rigoureuse, a trouvé les véritables bases de la théorie (J) développée parDirichIcL dans un Mémoire que nous étudierons prochainement.
2. Si l'on se reporte au Chapitre précédent sur les séries uniformément convergentes, une objection immédiate se présente relative à la détermination des coefficients. Celle-ci n'est rigoureuse que si la série (i) est supposée uniformément convergente entre o et 'Àtz. Ne nous préoccupons pas, pour le moment, de cette objection el, prenant les coefficients tels qu'ils ont été déterminés, cherchons si la série ainsi obtenue est convergente et représente /(x).
(«) Voir en particulier^ dans la Théorie analytique de la chaleur, de Fourier, le Chapitre IX et la Note de M. Darboux, à la p. 5ii de son édition de cet Ouvrage.
SÉRIES TRlîiOXOMÉTRIQUES. 287
La somme S,m des m H- i premiers termes de la série peul s'écrire S,„^— / — l-cos(a — .r)-h. . .-¥- co^m(oL — x)\/( ol) (h;
le terme général est, en elFel,
— I /(a)(cos/7acos/J.r-^sin/?:! sin/).r)^/2 = — l co?,p(% — x)/(oL)(/2.
La somme
— h cos(a — .r) -t-. . .-f-^cosm(a — x)
est facile à évaluer; elle est égale à
sin ( 2 m -t- I ) — I ,
. a — X 2Sin
comme on le voit de suite en remplaçant les cosinus par leurs valeurs en fonction d'exponentielles. Nous avons donc
sin|('2m + i)^i-^J
2sin
, a — X OU, en posant =Y>
Nous devons chercher si S„i a une limite quand m augmente indéfiniment.
3. L'intégrale précédente se ramène, comme nous le verrons bientôt, à des intégrales de la forme
r sin A'.r , , 7î ,
^ siii,r ^^ * 2
h étant une constante et A* étant un entier impair 2/t -h i, qui va
238 ÊQtATIOFC DE LAPLACE. — DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIES.
croître indéfiniment. Nous allons d'abord nous occuper de cette intégrale et chercher si elle tend vers une limite quand A augmente indéliniment. Cette étude a été faite pour la première fois d'une manière entièrement rigoureuse par Dirichlct {Journal de d'elle, t. 4; 1829). Nous suivrons l'analyse de l'illustre auteur. Commençons par calculer l'intégrale
on a
sin(9.n -4- ï).r
rsin(>./i -V- i).r = 2 / - "4- cos 2ar -h ... -h cos •;• nx\\
de là résulte immédiatement
*sin(2n -J- i):f
rfa* = -•
sinj: 1
Revenons à l'intégrale proposée on supposant d'abord que la fonction ^{cc) reste continue el positive entre o et A, et ne soit jamais croissante. Nous partageons le champ d'intégration en
intervalles
ir UT tnr. ri:
l'avant-dernier terme désignant le plus grand multiple de -. contenu dans A» Nous avons ainsi la somme d'intégrales
tt <m-H)tC
Jr'^^Mxkx , ., r ^ ^\\\kx . . . r^smkx , ^ . — : fo{x)dx-x-.„-\- I —. ®(a:)tfJ?-l-...-+- / — : o(x)dx.
^m TC «■ rie
Les termes de cette somme sont alternativement positifs et négatifs, et décroissent en valeur absolue. En eflet, soient deux intégrales consécutives
r ^ sinkx , . , r ^ sinkx , , ,
/ — . ^(x)dx et / — : tD(x)ax\
on ramène la seconde à avoir mêmes limites que la première, en posant X = -r -+- ^' ; elle devient ainsi
( /« -n ) ir
sinA-.r /t: \ ,
Or, en vertu des hvpotlièses faites, le facteur — ^^ ^ est
,in(J + ar)
moindre que le facteur —, — - de la première intégrale; les deux intégrales sont donc de signes contraires et la seconde est moindre en valeur absolue que la première. Nous pouvons donc écrire
chaque terme u étant moindre que le précédent et le terme général étant
Eflectuons le même partage pour l'intégrale auxiliaire
**sinA:j:
Nous aurons
Jr slnkx j ,,
sina:
(3) ^=po-pi-4-pi-.
en posant
De (2) et (3) on conclut
(4) Mo— Wl -+-...— Ml/iï-t< J < "0— «1^- .-Hlifm,
(5) Po— Pi -+-...— pt//i-i < - <Po- pi -»-•.. H- Pî/«.
Si maintenant, dans le terme général Um, nous remplaçons ^ (a;)
par sa limite supérieure 'ff"/- j» P"'S par sa limile inférieure
lous aurons
/ mTz\ [(m — i)- I
Nous allons nous servir de ces inégalilés pour Irouver deux limites de J. Dans le premier membre de l'inégalité (4), remplaçons les termes d'indice impair par des termes plus grands et ceux d*indice pair par des termes plus petits; dans le second membre, remplaçons les termes d'indice pair par des termes plus grands et ceux d'indice impair par des termes plus petits : les inégalitéssubsisteront. Ceci nous donne
La seconde des inégalités peut s'écrire
J <?(o)po—?(-^r)(?i—Pï)— ■••—?( -y^r-)(Pî«-i—pï/«)r et rt fortiori
J <cp(o)po— ?(— yr— jCpi— pi -H... H- Pi/H-1— ps/;i).
et enfin
J <U(o)-<pf--^:- ) |po-+-cj>|^-^j(po— pi-hp,-...4-pt„,).
Quant à la première inégalité, on la met immédiatement sous la forme
Les deux inégalités précédentes peuvent, en vertu de l'inégalité (5), s'écrire
1 ^r / X / '2 m t:\~I /2/mr\ r /2rmz\
SÉRIES TRIGONOHÉTRIQUES. 2^t
Il est d'autre part facile de trouver une limite pour p^;,. On a
lit I
(m-H)TC k
PmK- / sinkxdXf
. mr ■
ou bien
°'" . mi: ^ "" . mi: mit sin —7— sin -7—
Nous devons maintenant faire croître k indéfiniment. Faisons ei> même temps croître m indéfiniment, de manière que lim-r- = o (il suffira, par exemple, que m soit le plus grand entier contenu dans v/^); pm tendra vers zéro, d'après l'inégalité précédente. De plus po reste fini, puisque
7C 7C ^ 1Z ko
po<--^-pi<- +
SIDt
On voit alors que l'intégrale J reste constamment comprise entre deux quantités qui tendent vers -?(o).
Nous arrivons donc à la conclusion suivante
limJ = - 9(0).
4. Pour arriver au résultat précédent nous avons fait quelques hypothèses, dont il est possible de s'affranchir. Nous avons supposé que la fonction continue ^{x) éldÎM positive ei jamais croissanté dans l'intervalle de o à A.
Tout d'abord la fonction 'f (x), en gardant la seconde hypothèse^ peut être négative, car si C est une constante telle que G + f(^) soit positif, comme le théorème est démontré quand la fonction cp se réduit à une constante, du théorème relatif à C H- <f{x) on déduira le théorème pour <p(x).
Supposons maintenant que ?(^), ayant un signe arbitraire, n'aille jamais en décroissant de o à A; on pourra appliquer le théo- P. ~ I. i6
2^2 ÉQUATIO.N DE LAPLACE. — DÊVELOPPEMKM S EN SÉUIES.
rème à — ^i^) cl par conséquent, en changeant les signes, à o(x). Ainsi ^{x) peut avoir un signe quelconque, pourvu qu'elle varie constamment dans le même sens.
On peut aller plus loin. Considérons d'abord, g étant compris entre o et //, l'intégrale
r* sin A-.r , , / , ^ 'ïr\
(6) / o{x)fiT (o <" j?'< /il - ) .
J su\x ' \ '>' ;
Je dis que sa limite sera zéro quand A' augmentera indéfiniment, si y(^) varie dans le même sens de ^ à A. Considérons en effet une fonction '^\ (a:) qui coïncide avec 'f (^), x variant de o à g^ et avec Ç5(^) quand x varie de g' à //. D'après ce qui précède, les limites des deux intégrales
/ - . ^xKx)dx et / — .- ^s{x)dx
seront toutes deux égales ^ ^'^\ (o) : leur différence (6) tendra donc
vers zéro.
Ceci posé, admettons que, dans l'intégrale
ySin/.r , , / — . © ( .r ) dx,
Ç5(:r) ne varie plus constamment dans le même sens, mais quelle ait entre o et h un nombre fini de maxima et de minima. On pourra évidemment partager l'intégrale en une somme d'intégrales, entre les limites desquelles la fonction variera constamment dans le même sens. Celle de ces intégrales qui a zéro pour limite
tend vers -f (o), les autres tendront vers zéro.
Nous avons donc en résumé
lim / — .-- -o{x)dx = - o(o),
sous la condition que la fonction continue ^(x) n*ait qu'un nombre limité de maxima et de minima.
Il y a des fonctions continues qui, dans un intervalle limité, peuvent avoir un nombre infini de maxima et de minima; telle est,
par exemple, la fonction x sin - clans le voisinage de a: = o. De
telles fonctions sont exclues de notre analj^se.
Nous avons suivi dans l'étude de l'intégrale J la méthode de Dirichlet. On trouvera encore une étude rigoureuse de cette intégrale dans le beau Mémoire de M. O. Bonnet couronné par l'Académie royale de Belgique {Mémoires des Savants étrangers publiés par V Académie de Belgique, t. XXIII).
5. Nous avons jusqu'ici supposé h compris entre o et -• Quand h
est compris entre - etTr, les résultats précédents subsistent. Pour le montrer, il suffira d écrire
, r^ s'xnkx , . , r^siiîAra? , ,
J= / —. o{x)dx-\- I — : oix)dx.
Faisons dans la dernière intégrale o: = t: — x^ : elle deviendra
r o(tc — X ) dx ,
dont la limite (§ 4-) est zéro. Donc nous avons encore
nm J = — îp(o).
Celte extension suppose que h ne se confond pas avec n. Si /i = Tc, la seconde intégrale donnera ^ ?(^) et l'on aura alors
Ajoutons une dernière remarque. Il peut arriver que la valeur de la fonction ©(x), supposée continue entre o et A, ne soit pas, pour j; = o, égale à la limite des valeurs que prend ^{x) quand x tend vers zéro. La fonction <f(^), en général continue, pourrait être discontinue pour le passage par zéro, de telle sorte que ?p(H- a) tende vers une certaine limite, quand a tend vers zéro, et que cp(— a) ait également une limite, mais différente de la pre-
mière. Ce genre de discontinuités ne doit pas être exclu de notre analyse; il suffit de remplacer (p(o), partout où nous l'avons écrit, parcj>(-h e), en désignant ainsi, avec Dirichlet, la limite dey(4- a) quand la quantité positive a tend vers zéro. On aura alors
D'une manière générale, on aura aussi
/1C • y —. o(x) dx= - [çC-t- e) -+■ 9(1: — e)],
en désignant par cp(Tc — e) la limite de (p(7r — a) quand la quantité positive a tend vers zéro.
Il est d'ailleurs bien évident que la fonction <p(.r) peut avoir entre o et A un nombre fini de discontinuités par sauts brusques de valeurs; nous avons déjà parlé de ces discontinuités (Cliap. 1*',
Ainsi, en résumé, les hypothèses faites sur la fonction ç(^) sont les suivantes : elle reste finie, est en général continue, peut posséder un nombre limité de points de discontinuité de la nature indiquée, et enfin n^a qu'un nombre limité de maxima et de minima dans V intervalle considéré.
Les conditions précédentes représentent des conditions suffisantes pour que Ton ait
limJ = ^ ?(-He);
elles ne sont nullement nécessaires, La recherche de conditions suffisantes de plus en plus étendues, pour que le résultat précédent subsiste, a fait l'objet de travaux très nombreux et d'un grand intérêt. Nous ne pouvons même pas songer à les énumérer ici (*). Citons seulement un résultat très général dû à Lipschitz, relatif aux fonctions ayant un nombre infini de maxima et de minima, les autres conditions étant satisfaites {Journal de Crelle^ t. 63). La condition suffisante de M. Lipschitz est la suivante : il suppose
(*) Un essai historique sur la représentation des fonctions par une série tri> gonométrique a été publié par M. Arnold Sachse {Bulletin des Sciences mathématiques j 1880).
SÉRIES TRIGONOHÉTRIQUES. 245
que, pour toute valeur ^ dans le voisinage de laquelle la fonction ^(x) a une infinité de maxima et de minima, on ait, pour 8 suffisamment petit,
lv(?-^^)-?(?)l<Aô",
A étant une constante et a un exposant positif (*).
Mentionnons encore les recherches de M. Jordan qui sont exposées dans son Cours d^ Analyse, L'éminent géomètre introduit la notion de fonction à variation bornée (notion dont nous avons dit un mot au Ghap. P""), et il montre la légitimité du développement pour ces fonctions à variation bornée.
Dans la suite, nous ne considérerons que des fonctions satisfaisant aux conditions indiquées plus haut, en faisant toutefois une exception pour la première de ces conditions. Dans un cas étendu, en effet, on peut s'afl^ranchir de la condition que la fonction f{x) reste Jinie, comme nous allons le montrer.
