Considérons donc une fonction ^(x) devenant infinie pour

(') Remarquons que, dans tous les cas, on a

lim / -^ 9(a:)dx = - 0(0) f

môme quand la fonction continue 9(^7) a une infinité de maxima et de minima, pourvu que les points correspondant à ces maxima et minima aient un nombre fini de points limites et qu'aucun de ceux-ci ne coïncide avec le point x ■= o. Il suffira, pour l'établir, de considérer le cas où il y aurait entre o et A un seul de ces points limites, soit j; = a. Nous partagerons l'intégrale en trois parties :

r"^-^ sxnkx , ,. r'^^^s\xikx , ^ . Z'* sin

/ -. ^{x)dx->r I — : o(x)dx-^ I — .-

Jo sinj; ^' y^g sinj; ^' J ^^^ su

kx sino;

£ étant une quantité donnée à Pavance, d'ailleurs aussi petite qu'on voudra; c'est seulement dans l'intervalle (a — s, a + e) que la fonction aura une infinité de maxima et de minima. Ceci posé, la première et la troisième ititégrale tendront

respectivement vers — 9(0) et 0, quand^A- augmentera indéfiniment. Quant à la

seconde, on peut l'écrire

sinÇ ^ '

I étant compris entre a — e et a-+-e. Donc, quel que soit A:, elle est moindre que As, A étant un nombre fixe, et comme e est aussi petit qu'on veut, on en conclut l'égalité annoncée.

X = Xo' On suppose que, de ^o — t à Xq et de Xq k Xo-h ^, la fonction conserve un signe constant. De plus, Tinlégrale

<9{x)dx

tend vers une limite quand x tend vers x^^ en lui étant inférieur ou supérieur. On va démontrer que, dans ces conditions, la formule fondamentale subsiste. Reprenons l'intégrale

r^%\vïkx . . .

jTo étant supposé compris entre o et A. Partageons l'intégrale en quatre parties

l'élément différentiel, que nous n'avons pas écrit, étant toujours

sinXra? , ^ .

— : ©(j?) ax.

smx ' '

En appliquant le théorème de la moyenne, la seconde intégrale peut s'écrire

. w / fD(x)dx,

Ç étant compris entre Xq — e et Xq» On peut choisir e assez petit pour que

^(x) dx