TO-Ê
soit moindre qu'une quantité vi donnée à l'avance, aussi petite qu'on voudra; c'est ce qui résulte de l'hypothèse faite sur ^{x), La même remarque s'applique à la troisième intégrale. Par conséquenty quel que soit A", la somme de ces deux intégrales est moindre en valeur absolue que toute quantité donnée à l'avance, si l'on a pris e assez petit. Faisons croître k indéfiniment; la quatrième intégrale tend vers zéro, la première vers — ç(-l- e).
SÉRIES TUIGONOMÉTRIQUES. ^4?
Nous avons donc encore
' SI 11 A a* , . , 7C
lim / — : o(x)djc= -o(-i-e),
si o{ûo) devient infini de la manière indiquée pour ^o compris entre o et h.
Nous dirons , dans la suite, qu'une fonction satisfait aux conditions de Dirichlet, quand elle satisfait aux conditions énumérées au § 5, sauf qu'elle peut devenir infinie, mais de la manière qui vient d'être indiquée.
II. — Série de Fourier. -- Ordre de ses coefficients. Sa convergence uniforme.
7. Revenons maintenant à la série de Fourier, c'est-à-diie à la série trigonomélrique où les coefficients sont exprimés par les intégrales définies données au § 1 de ce Chapitre. En faisant la somme des m -}- 1 premiers termes, nous avons trouvé
C'est la limite de ^m. pour m = ce que nous nous proposons de Irouver, en supposant que la fonction y'(^) satisfasse entre o et 2 7? aux conditions de Dirichlet.
Supposons d'abord que x^ qui va resler compris entre o et 27ç, ne soit égal à aucune de ces limites, ni à une valeur de x où f{x) devienne infinie. Écrivons
- / . ' /( 2^ ■+- -2 7 ) (fy.
La seconde intégrale est de la forme de celles qui ont été étudiées au § 5; sa limite sera donc
^Ifi ËQLATION DE LAPLAGE. — DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIES.
ce sera -/(j;) si la valeurs ne correspond pas à une discontinuité
de la fonction. Quant à la première intégrale, il suffit d'y changer yen — y, et Ton est ramené au type étudié. La limite pour m =00
sera
Ainsi donc, pour la valeur considérée de x^ la série de Fourier converge et a pour valeur
Cette limite sera /(^), si x n'est pas une de ces valeurs, par hypothèse en nombre limité, pour lesquelles la fonction soit dis-
Fig. 16.
In
continue. Ainsi soit, par exemple, une fonction f{x) représentée par \^ fig- 16; on suppose que la courbe
corresponde à l'arc continu AB, x étant compris entre o et a, puis à Tare CD, x variant entre a et P, et enfin à l'arc EF entre p
Pour toute valeur de x distincte de o, a, p, 2 7t, la série trigonométrique représentera l'ordonnée correspondante de la courbe. Pour ^ = a, que représentera la série trigonomélrique? Ce ne sera ni aB, ni aC, mais, d'après la formule (7), leur demi-somme, car on a évidemment
/(a — s) = ÏB, /(a 4- e) = ÏG.
SÉRIES TRIGONOMÉTRIQLES. ^49
Supposons maîntenaDl ^ = o ou 211, ce qui doit donner nécessairement le même résultat. On aura
nous aurons donc, comme limite, d'après le § o,
Ce cas est à considérer, en quelque sorte, comme un cas de -discontinuité. Si Ton enroule, en effet, la figure sur un cylindre, la longueur (o, 27t) devenant une circonférence, rien ne distinguera pins le passage brusque de A à F des autres discontinuités de la fonction.
