Prenons quelques exenjples. Supposons q{ie/(x) se réduise
à — • On aura •2
a,n = - 1 cos niJo - dx' = ~-{ ) / ax,
par conséquent o„i-= o, m y^ o.
Pour b„iy on aura
1 mx — dx
,= - / sin
I / cosmxy"' 1 r
Nous aurons donc, pour x compris entre o et 27t,
a? TT sinj:' sin'2J^ sin ma:
Pour x = o, le second membre est égala-» qui est bien la
moyenne entre les valeurs de - pour x =^0 et x= 2tz.
Prenons un exemple de fonction présentant une discontinuité.
Imaginons qu'une fonction soit égale à- de oàiretà — -deTîà
25o ÉQUATION DE LAFLACE. — DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIES.
'àtz. On aura ici
a,„i= / cosmx iix — / co% nir dx =r. o^
Cl ce résullal est valable aussi pour m = o. D'autre pari
b,n^- I sin rnxdx — - / sin/war c^ar = - (i — cosm;:):
donc pour m pair, bm=: o; pour m impair, 6,„= • Le développement cherché est donc
sinx sinSj" siii ja:
Pour ^ = 7:, point de discontinuité, la somme de la série est nulle; c'est bien la demi-somme des deux valeurs correspondantes de la fonction.
Comme exemple de fonction devenant infinie enlre o et air, prenons la fonction
/(x) = logcos*^.
Elle devient infinie pour x = tc, mais rinlégrale
/ Joj^cos* - dx
a une limite quand .r tend vers ?:. Pour s'en assurer, il suffit de poser cos - =y et Ton a Tinlégralc
dans laquelle y tend vers zéro par des valeurs qu'on peut supposer positives; l'intégrale
comparable à l'intégrale
J ^ogydy=ylogy-j', a nécessairement une limite ])ourj>'= o.
SÉRIES TRIGONOMÉTRIQLES. 2.5 I
Le développement
logcos*-- = ao-+- ^(«/;i cosmx -h /;„|Sin Fn.r) «1 = 1
aura pour coefncîenls
a^= - j logcos* -rfx,
a,n— - / logcos* - cosmrc^j-,
^,;, = - / \o^QO?^-^\nmx dx.
"^ Jo ^
La valeur de b„i est nulle, car les éléments correspondant à x et à 2TZ — ^ se détruisent deux à deux.
Quant à la valeur de a,», elle se calcule sans peine en se débarrassant du logarithme, qui figure sous le signe d'intégration au mojen d'une intégration par partie. On trouve ainsi, pour les coefficients du développement,
et
riy =r — 2 loga.
9. Les séries Irigonométriques auxquelles nous sommes parvenu dans les exemples précédents, en appliquant la règle de Fourier, sont de la forme particulière
A = aQ-hai cosO ■+- at cosaO -+-. . .-f- a„ cosnd -+-...,
les coefficients, dans ce développement, étant tous ou de même signe, ou alternativement positifs et négatifs. 11 est facile de démontrer qu'une pareille série est convergente, lorsque les coefficients vont en décroissant en valeur absolue et que la limite de a,, est nulle.
Admettons d'abord que tous les coefficients soient positifs, et
posons
An = ao-hai cosO -h «j cos^O -h. . .-h a„cos/iO.
En multipliant les doux membres de cette égalité par asin-»
252 ÉQUATION DE LAPLAGE. — DÉYELOPPEMENTS EN SÉRIES.
qui est différent de zéro, si 8 n'est pas égal à un multiple de 27:, on obtient
îA/iSm- = > aa,rtCOs/nO sin- = y^dm ( " — sm b U
d'où, en ordonnant par rapport aux sinus,
2 A;tSin- = ansin — h(ao — aOsm — h. . .
-h{an-i— art)sin 6 -f-awSin — ; 9.
Laissant de côté le premier terme de celte formule et le dernier qui a pour limite zéro, nous remarquerons que la série à termes positifs
S =(«0— ai)-h(a, — aî)-i-...-h(a„-,— a„)-4-.. .
est convergenle et a Hq pour somme, puisque
Sft= ao — an
et que Ja limite de a,i est zéro. Cette série sera encore convergente quand on multipliera respectivement ses différents termes
par sin- , sin - ^ • . • » sin ">•••? q"' sont des quantités mom-
dres que un en valeur absolue. Donc la série A sin- est conver- ^ 2
gente, et par suite la série A converge, sauf peut-être pour 8==2A*7c.
Si la série A était à termes alternativement positifs et négatifs, il suffirait de changer 6 en 7: — 6 pour être ramené au cas précédent.
On démontrerait de même la convergence de la série
B = ^0-^ ^isinO -i- ôjsinaO 4-. . .-f- 6ttSiii/iO H-. . ., les conditions étant les mêmes que pour la série A.
10. Revenons à la série de Fourier; une question capitale se pose. Peut-on, d'une manière générale, avoir une limite supérieure de la valeur absolue des coefficients Um et 6,»?
La fonction /(x) satisfait toujours aux conditions de Dirichlet ;
supposons d'abord quV//<? reste finie. Nous considérons
am= - j /(x)cosmx dx.
Piulagcons l'intervalle (o, air) en un nombre fini d'intervalles tels que, dans chacun d'eux, la fonction soit continue et varie toujours dans le même sens. Soit
r) cosmx dx
rîntégrale correspondant à un de ces intervalles et soit, par exemple, /(a;) non croissant de a et ^; on aura, d'après le théorème de M. Bonnet (Chap. I, § 4),
• /^ ■• Gin #17 F
/ /(x) cos m xdx=/(oL) j cosmx dx =/{a)
sin//?> — SU) ma
$ étant compris entre a et p. Une formule analogue se présente si f{x) ne décroît pas de a à ^. Dans les deux cas, le point capital est la présence de m au dénominateur, tandis que le multiplicateur
de — reste fini. En groupant les intégrales précédentes, qui, par
hypothèse, sont en nombre limité, on aura
A étant une constante fixe convenable, indépendante de m, et l'on a pour bm une formule analogue. Ainsi «;,, et b,n tendent vers zéro et Ton voit clairement, dans le cas général, leur degré de petitesse pour m très grand. Le résultat précédent est bien digne
de remarque : puisque la série de terme général -— est divergente,
la convergence des séries de Fourier est due, en général, aux variations de signe que présentent leurs termes,
11. Les choses sont un peu moins simples quand la fonction y(x)j satisfaisant aux conditions de Dirichlet, devient injinie. Nous allons faire une hypothèse particulière sur la manière dont y{x) devient infinie. Soit Xq une valeur entre o et 2it, pour
q54 équation de LAPLACE, — DÉVELOPPEME.NTS E.N SÉRIES.
laquelle /(x) soil infinie; on supposera que, dans rinlervalle de a à :ro(a <; Xo), f{x) puisse se mellre sous la forme
o{x) variant dans le même sens de a à jTo el 'f (j:*©) ayant une valeur déterminée dinférente de zéro. On aura une expression analogue pour l'intervalle de Xq à ^(,3>>:ro). Pour tout intervalle ne comprenant pas le point a:of 'a part de l'intégrale est de
Tordre de -• Considérons maintenant rinléfirralc
(9) /^ .__cos,;i.r./^.
La valeur de cette intégrale, en supposant, pour fixer les idées, que ^{x) ne croisse jamais de a à Xq^ sera de la forme
(3t Cî<^0— ^).
Posons m (.ro — x)=y; on aura
/•^ (•osm:r^^^^ 1 r ' -cos(j — ;;t.ro)^^
Or les deux inlé<;rales
^ //Kl-,— a) •/ «^///!r„— ai -^
ont, quels que soient m et ç, dos valeurs absolues inférieures à un nombre fixe; en effet les deux intégrales
ont un sens parfaitement déterminé, comme on le voit, par une méthode analogue à celle que nous avons suivie au Chap. I (Sect. VI). Donc, en faisant tendre e vers zéro, on voit, d'après (9), que rinlégrale
cos/;iJ? djr
SÉRIES TRItiONOMÉTRIQUES. 255
sera moindre que le produit de --^-;^ par une conslanle indépendante de m.
Il en résulte les inégalités
I î II. - ^ ^
\c,n\ et |6;,,| <^ ,,j,^v'
B étant un nombre positif convenable indépendant de ///.
La condition précédente, relative au cas où la fonction devient infinie, n'est d'ailleurs nullement nécessaire. Une fonction peut devenir infinie d'une tout autre manière et n'en être pas moins développable en série de Fourier. Que Ton prenne, par exemple, la série divergente à termes positifs
aoH- «1 -H. . .-f- «„|-t-. . . ,
dans la(|uelle les coefficients satisfont aux conditions du § 9; la
série
y*(0; = ao-f- aiCosO -+-. . .-H a;,|CosmO -h. . .
convergera pour toute valeur de 8, sauf 6=.i/v7r, valeurs pour lesquelles elle deviendra inCnie d'une manière évidemment arbitraire. On peut, de plus, remarquer qu'aucun ordre ne peut être assigné aux coefficients am de cette série trigonométrique convergente.
12. Dans bien des cas particuliers, on pourra avoir une approximation dinrérente pour les coefficients. Supposons, par exemple, que la fonction /{^) n'ait aucune discontinuité, qu'elle admette 27Ç comme période et qu'elle ait une dérivée restant finie et satisfaisant d'ailleurs aux conditions de Dirichlet. Nous aurons, pour celte fonction,
a,n = - / f{^) cos inx doc
et
b,n = - / /( x) sin mx ffx^
et, en intégrant par parties,
a„i = / f'(x)%'minx dx
et
b,n — I f'(x)cosmxdx,
puisque /(o) ==/( air). En appliquant alors à l'intégrale précédente le résultat du § 10, nous voyons que Ton a
\am\ et l^'«l<,7^'
A étant indépendant de m; par conséquent, dans ce cas, la série de Fourîer correspondant à la fonction /(x) sera absolument et uniformément convergente.
La remarque précédente peut évidemment être généralisée. Si la fonction /(^) et ses dérivées jusqu'à l'ordre p — i sont continues et périodiques (la période étant 211) et que la dérivée d'ordre p reste finie, on trouvera, en intégrant p fois successivement, par parties, et appliquant le théorème du § 10,
lO/nl et \^^n\<—~i^
A étant toujours indépendant de m»
13. Nous avons encore une question très intéressante à nous poser sur les séries de Fourier. Le calcul des coefficients, nous l'avons dit, a été fait en supposant la série uniformément convergente. En fait, la série de Fourier, que nous venons d'étudier, converge-t-elle uniformément? 11 est évident qu'il n'en peut être ainsi dans un intervalle comprenant un point de discontinuité. Nous devons donc nous borner à considérer un intervalle (a, b) compris de o à 27î dans lequel ne se trouve aucun point de discontinuité.
Commençons par supposer que la fonction /{x) varie d'une manière continue dans le même sens de a et 6, et aussi un peu au delà de b et en deçà de a (a <i b), de telle sorle que a et 6 ne correspondent ni à un maximum, ni à un minimum; la fonction /(x) sera, de plus, supposée positive, ce qui peut toujours être réalisé par l'addition d'une constante. De l'hypothèse faite résulte qu'on peut trouver un nombre positif h tel que la fonction de y
pour une valeur fixe x quelconque comprise dans rintervalle (a, b) varie dans le même sens, y variant de — /i à H- A.
Ceci posé, nous allons déraonlrer que la série de Fourier correspondant 2if{x) converge uniformément dans l'intervalle (a, b). Reprenons à cet effet l'intégrale
* sinXrY
Il faut établir qu'on peut prendre Tentier impair k assez grand pour que S^^., diffère de f{x) de moins de e (e étant donné à
l'avance), quel que soit x dans Vintervalle (a, b). Nous partageons, comme plus haut, l'intégrale en deux parties : nous allons
montrer que chacune d'elles tend uniformément vers •^^^^; il suffira de prendre l'une d'elles, soit
Tt--
— : ^/(^-t- 2Y)ûfY;
sinY
nous la partageons elle-même en deux intégrales
h étant le nombre fixé plus haut. La fonction de y> /(^ + ^y), varie dans le même sens quand y va de o à A; supposons, pour fixer les idées, qu'elle n'aille jamais en croissant. En nous reportant alors au^§ 3, nous avons, en posant
et entendant par m le même entier que dans ce paragraphe, soit le plus grand entier contenu dans y/^,
i<[/(x)-/(.^i?:i)],.*/(..iîî):^/(,.L|--)^„, '>/(--T^)î-/(-^)'-
P. - I. Il
S>58 ÉQUATION DE LAPLAGE. — DÉVELOPPEMENTS EN SÉIUES.
De ces deux inégalités résulte bien que J converge uniformément vers la limite i'f{x)^ x étant dans l'intervalle (a, 6), c'està-dire que Ton peut prendre A' assez grand pour que J diffère de ^f{x) de moins de e, quel que soit x dans l'intervalle indiqué.
Nous avons maintenant à considérer la seconde des intégrales (lo); elle est de la forme
r TH^'^^^^''"^' o</i<^<7r.
11 est bien facile de voir qu'elle est de l'ordre de 7;; il suffit de
raisonner comme nous l'avons fait (§ H) pour déterminer l'ordre (les coefficients. On conclut que la seconde des intégrales (10) est moindre, en valeur absolue, que
A étant une constante fixe convenable, et cela, quel que soit x dans l'intervalle (a, 6).
Il est donc établi que l'intégrale
