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^|^/(^ -f- 2y) d^ {k impair),

qui représente la somme des premiers termes de la série de

Fourier, diffère de /(x) pour k suffisamment grand, de moins de e, quel que soit x dans l'intervalle (a, 6).

Les raisonnements précédents supposent essentiellement que la fonction y(^) n'ait ni maximum, ni minimum dans l'intervalle (^'î *)i y compris les deux extrémités. Il est aisé de lever ces restrictions. Les maxima et les minima étant, par hypothèse, isolés, puisqu'ils sont en nombre fini, considérons l'un d'eux. Soit, par exemple, x =^ Xq correspondant à un maximum yQ=zf(^Xo) de la fonction /(x) positive dans le voisinage de Xq] f{x) croît de j\ — a à Xq et décroît de Xq à r^H-a. Je considère la fonction

SÉRIES TRIGONOMÉTRIQL'ES. 25i)

continue Q(x) ainsi définie dans l'intervalle (xn — a, ^o+ a).

(i(x)=/(x) de Xo — a à .r©.

Celte fonction est croissante lorsque x varie de ^o^- ^ à .ro-f-a. Considérons maintenant la fonction

P(a7) = Q(:r)+/(a7), on a

P(ir) = a/(ic) de Tq — ol à .r,,,

P(^) =ro(ï-+- î^) — (fJt — i)/(a:) , de a-o à ^o-ha;

P(a:) sera aussi croissante lorsque x varie deio — * ^ *^o + ^- ^i'

/(^) = P(a:)-Q ar).

Par suite, la fonction /(a;) est la différence de deux fonctions variant dans le même sens de part et d'autre de Xq, Si donc on développe P(x) et Q(^) en séries de Fourier, il n'y aura aucune difficulté relativement à la valeur ^o» L'intervalle (a, b) peut donc contenir des valeurs de x correspondant à des maxima ou des minima.

En résumé, nous pouvons énoncer le théorème suivant :

La série de Fourier, représentant une fonction f{x) satisfaisant aux conditions de Dirichlet, est uniformément convergente dans tout intervalle {a, b) à l'intérieur duquel la fonction ne présente pas de discontinuités.

III. — Sur les séries trigonométriques les plus générales. Théorème de M. Cantor.

14. Quand nous avons cherché les coefficients du développement

(il) /(■2P) = «o-^ ^ (a,rt cos/nx-h^,,, sin/wx),

nous avons fait des intégrations qui supposaient la série uniformément convergente dans l'intervalle de o à 21:.

Si l'on veut que la série (i i) soit uniformément convergente de o à 2it, il est clair que le développement ne peut se faire que

26o ÉQUATION DE LAPLACE. — DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIES.

d\ine seule maalère. Mais si on laisse de côlé rti^'polhcse de la convergence uniforme, on peut se demander s'il n'existe pas, pour représenter /(x), un développement trigonomé trique différent de celui de Fourier.

Nous bornant toujours aux fonctions satisfaisant aux conditions de Dirichlet, nous supposons qu'il y a égalité entre les deux membres de (i i) pour toute valeur de x qui ne rend pas la fonction/infinie ou discontinue. On aura donc Tidentilé (ii), sauf peut-être pour un nombre limité de points entre o et niz. Si deux développements de cette forme et dans ces conditions sont possibles, on aura évidemment, en les retranchant, une identité de

la forme

( 12 ) «0 H- ^ ( 3t/« cos mx -h p,„ sin nix ) = o.

pour toute valeur de x, comprise entre o et ai:, sauf peut-être pour un nombre limité de points.

Si l'on peut établir que tous les a et ^ sont nuls, l'identité des deux développements supposés sera démontrée. M. Cantor a, le premier, démontré que l'identité (12) ne peut avoir lieu que si tous les coefficients sont nuls (Journal de Crelle, t. 72, et Acla mathemalica, t. II). Son analyse s'appuie sur un théorème de Kiemann, très intéressant en lui-même et que nous allons d'abord exposer.