Considérons avec Riemann (*) une série trigonométrique
) - ao-+-«i C0SJ7-+
où l'on suppose que
(S) - ao-+-«i cosj7-h6| sinar-h. ..-h ancosnx -h b^ %\nnx H-. . . ;
lira a;, = o, rnn^;t=o.
n = 00 n = ao
Dans ces conditions, si l'on écrit
Ao = - «oj A,i = a„ cos/ia7-h 6rt sin/iT,
(») Œuvres mathématiques de Riemann, trad. Laugel, p. aa5 et suiv. Paris, Gauthier-Villars.
SÉRIES TRIGONOMÉTRIQLES. 20 r
la série
que Ton déduit de la série initiale, en intégrant deux fois chaque terme, sera uniformément convergente de o à air, puisque A„ reste finie quel que soit x^ et représentera une fonction continue F(jf). Riemann considère le rapport
Si la série S com-erge pour une certaine valeur de x, et a f{x) pour somme, le rapport précédent tend vers /{x), quand a tend vers zéro. Tel est le théorème que nous allons établir.
En remarquant que
a„ cosn{x 4-2a) -f- a^ cosn(x — aa) — ^a„ cosnx = lan cos/ia:(co8 2/ia — i) = — 4ût« cos/ia? sin*/ia.
ô/, sin/i(a?4- 2a) -f-6rt sinn (a; — 2a) — 26» sinnx = 26,, sin/iir(cos2/ia — 1) = — 4^/1 sin/ia7sin*/ia,
on peut écrire
/ F(a--4-2a)-f- F(ar — 2a) — 2F(57) /sina\*
Or, X ayant la valeur particulière considérée, on a
et, 8 étant une quantité donnée à l'avance aussi petite qu'on voudra, on peut trouver m tel que l'on ait
|£/»|<5, si n^m.
De plus, nous prendrons dans (i3) a assez petit pour que ma >'ir.
En remplaçant d'une manière générale A„ par £;,+, — e„, la série (.i3) peut s'écrire
r/ \ Y? l rsin(n— i)a"l« /sin/ia\«)
Partageons maintenant cette série en trois parties. Dans la première, on fait croître n de i km; dans la seconde, n variera de
m + I au plus grand entier 5 inférieur à- ; enfin, dans la troisième,
n variera de 5 -|- i à Tinfîni.
La première partie se compose de termes en nombre fini, et tendra évidemment vers zéro si a a été pris suffisamment petit.
i.a seconde partie est moindre que
les quantités entre crochets, dans la somme, étant toutes positives, car — ;— décroît constamment, x croissant de o à tt, et l'on a précisément
5 <^ - ou 5a< 7C.
Passons enfin à la troisième partie. Décomposons le terme général de la manière suivante
; [•sin(n — Dais rsin(/i — Ogl» J \rsin(/i — i)a'l* /sin/i2t\*/
Le second terme peut s'écrire
sin(2n — i)a sina
-'" ^^ï^tï
Le terme général sera donc moindre, en valeur absolue^ que
sf i L l + i
La troisième partie, comprenant la sommation de 5 -j- 1 à l'infini, aura donc une valeur absolue moindre que
a ar i i
la somme entre parenthèses étant une série convergente.
Mais on a ( ' )
Nous avons donc, comme limite supérieure,
0 0 -r-rH
S* a* sa Or S est le plus g^and entier inférieur à -> c'est-à-dire que
s^ I ou sol-^t: — a:
la limite précédente sera donc moindre que
L(7r — a)* Tc — aj
Elle est infiniment petite avec 5 : l'expression (i3) diffère donc de /{x) d'aussi peu qu'on veut, pour a suffisamment petit. Le théorème est démontré.
16. A ce théorème nous joindrons, avec Riemann, la remarque suivante :
Le quotient
tend, quel que soit x, vers zéro, quand ol tend vers zéro.
Partageons, en effet, la série qui représente l'expression précédente
(' ) Cette inégalité peut en eflfet s'écrire
rdx
et e]le se vérifie immédiatement en considérant les rectangles intérieurs inscrits dans la courbe j^=~> comme nous l'avons déjà fait à différentes reprises
(Chap. I, Sect. VI).
en trois parties. Dans la première, n variera jusqu'à un nombre fixe m, tel que, pour n > m, on ait [A;,] <e ; dans la seconde, on fait varier n depuis (m + i) jusqu'à la plus grande valeur satisfaisant à Pinégalilé na^c, c désignant une constante fixe; enfin, la troisième partie comprendra le reste de la série.
La première partie donne une somme inférieure à aQa, Q étant une quantité fixe ; la seconde est moindre en valeur absolue que
enfin, la troisième partie est moindre que
\i rsin(/ia)'l* ^ V^ I ^ *s i
comme on le voit en se reportant, pour la dernière inégalité, à régalité(i4).
Nous avons donc
I F(a:-+-2a)-hF(a: — 2a)— 2F(ar)|
<,[Qa+,(c-t-l)];
d'où résulte immédiatement que le premier membre tend vers zéro en même temps que a.
17. Avant d'aborderla démonstration du théorème de M. Cantor, relatif aux séries trigonométriques, faisons encore une remarque essentielle, due à M. Schwarz.
Soit ^{x) une fonction continue dans un intervalle {a, b), et telle que, pour toute valeur de x dans cet intervalle, on ait
y ¥{x -4- a) — 2 V{x) -h F(ar — g) a = o a* ~
Nous allons montrer que 'P{x) est une fonction linéaire de x. Supposant a<^b, nous considérerons la fonction
(p(a7) = iJF(^)-F(a)-J^[F(6)-F(a)]j-Ç(x-a)(6-a7),
i désignant ±i, et h une constante quelconque. La fonction ^(x)
est coDlinue dans rinlervalle (a, 6), et Ton a
lim -i- '--^^ ■ = /<*.
Donc, si a est assez petit, l'expression
est positive. Je dis qu'il en résulte qWe ç(^) ne peut être positive pour aucune valeur de x dans l'intervalle (a, 6). Si, en effet, ^(a?) était positive pour certaines valeurs de a:, elle aurait un maximum pour une certaine valeur Xq de Xj puisque f{a) = 9(6) = o. Par conséquent, pour a assez petit, on aurait
<p(jro-+- a") — o(a:j) <- o, o(To—a) — ^(TQ)^o; par suite,
^{xo-^ a) -h o{xq — aL) — 'i^(xQ) serait négatif.
Ainsi donc, quel que soit A, et pour 1 =iii 1, la fonction 9{x) est négative ou nulle dans l'intervalle (a, 6); mais nous pouvons prendre h très petit et donner à i un signe tel que, pour une valeur de X, o{x) soit positif, si Ton n*a pas identiquement
Celte identité est donc nécessaire. Il en résulte bien que F(j:) est une fonction linéaire de x.
On remarquera que la proposition précédente serait é\^idente si l'on supposait que la fonction F (a:) admet des dérivées première et seconde continues dans l'intervalle (a, 6).
18. Nous pouvons maintenant démontrer le théorème de M. Cantor. On suppose, comme nous l'avons dit, que l'on ait
«0 -*-(«! cosa^-i-p, sJna-)H-. . . -+- (a^ cos/ia: 4- p« siii/ia7)-h . . . = o,
cette égalité ayant lieu pour toute valeur de a:, sauf peut-être pour un nombre limité de valeurs dans un intervalle égal à ait. On ne fait d'ailleurs aucune hypothèse sur la façon dont se comporte la série pour ces valeurs exceptionnelles.
266 ÉQUATION DE LAPLAGB. — DÉVELOPPEMEKTS EN SÉRIES.
Remplaçons successivemenl. dans la série précédente, x par X -h 3 et ^ — 5, et ajoutons ; il viendra
( a© -H (ai cosar-i- pi sina?) coso -h . . .
\ -f- (a,, cos/ia:-+- p« sin/ij-) cos/i8 -+-... = o,
X ayant une valeur fixe (différente des valeurs singulières). La relation précédente aura lieu pour toute valeur de 8, sauf peut-être pour un nombre limité de valeurs dans un intervalle égal à 2^. C'est une série trigonomélrique en o; elle ne renferme que des cosinus, mais ceci nous importe peu ; ce qu'elle présente d'intéressant pour nous.
c'est que le coefficient de cos/i5 tend vers zéro avec-« Nous al-
Ions donc pouvoir nous borner, dans la démonstration du théorème (de M. Cantor, au cas où les coefficients des cosinus et sinus tendent vers zéro avec-* Si Ton suppose, en effet, le théorème démontré dans cette hypothèse, la formule (i5) montre que l'on a
a,t cos nx -h ^^ sin /lar = o,
quel que soit x (sauf peut-être un nombre limité de valeurs dans un intervalle air); on en conclut a,i=: P/2 = o.
Ces préliminaires étant bien compris, nous partirons maintenant de l'identité
- — h ai cosa? H- 6i sina? H- ... -+- a» cos/ia:-h 6^ sinnâ7-h ... = o,
qui a lieu dans les conditions indiquées, et nous ferons l'hypothèse légitime
lim «/i = o, lim h^ = o.
Nous pouvons alors appliquer le théorème de Riemann et former la fonction F(a;) du § 15, fonction continue pour toute valeur de x^ sans aucune exception. Nous avons, d'après ce théorème,
lim = o,
pour toute valeur de x distincte des valeurs exceptionnelles. Donc (§ 17) la fonction F (a*), entre deux valeurs exceptionnelles con-
séculives, sera une ronction linéaire de x, La courbe
forme donc une ligne polygonale continue, les sommeis de la ligne correspondant aux valeurs singulières, si elles existent. Mais considérons une telle valeur x^^] la fonction F(;r) ne cesse pas d'être continue pour x = Xo, et (§ 16)
lim = o.
Or les deux quotients
F(aro4-a) — F(.ro) ^^ F(.ro— g) — F(;ro) a — a
représentent les coefficients angulaires des deux côtés de la ligne polygonale ayant pour sommet le point considéré. Ces deux coefficients angulaires sont donc égaux et les deux côtés sont le. prolongement Fun de Faulrc. Nous en concluons que la courbe
représente une ligne droite indéfinie. Soit y ^=-cx-\' d cette droite; on aura, pour toute valeur de x^ la relation
Ao Al — ... -—...= c.r -4- c,
que nous écrirons
Le second membre admet la période air; pour que le premier Fadmette, il faut que
c = o, Ao = o.
Il reste alors
. . a« cos/iJ? -f- bu sin nx — c = ai cosar -h 6>i sina7 -T-. . .H — h...;
mais la série du second membre est uniformément convergente; on peut donc appliquer, en toute rigueur, la méthode classique
a68 ÉQUATION DE LAPLACB. — DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIES.
pour la détermination des coefficients, ce qui donne immédiatement
an = o, b„ = o, et le théorème est démontré.
