IV. — L'intégrale de Poisson
19. Nous allons maintenant faire l'étude d'une intégrale célèbre considérée par Poisson, et qui se rattache étroitement à la théorie des séries trigonométriques.
Soit/(©) une fonction continue et périodique (période 27:) de la \ariable ©. Nous pouvons former les coefficients a^ et bi de Fourier, mais nous ne supposons pas la fonction /(cp) nécessairement déK^eloppable en série trigonométrique.
Envisageons alors la série ordonnée suivant les puissances croissantes de r,
~ H- r(ai cos<p H-6i sino) -H. . .h- r'»(a;„cosmp -h bm 8inm«p)-4-. . .,
qui est convergente pour r •< i? puisque les a et 6 sont en valeur absolue moindres qu'un nombre fixe. Nous allons montrer qii^on peut la mettre sous la forme d! une intégrale définie. Formons, en effet, l'intégrale
I = — / /(il) d^,
^^./o '^^i — arcos(^;^ — cp) -+-/•« ^
Il est facile de la développer suivant les puissances croissantes de r : nous retomberons sur la série qui précède. Parlons de la
formule
I — 'ir cos 6 -f- /•- ~ I — /-giô I — re~^^ ' on a
et une identité analogue en changeant i en — /. On aura donc
n j ï = i-f- a > /•" cosn(4/ — o)
I — 2/*cos(tV — cp) -h /* j^ ^^ ''
SÉRIÉE TRIGONOnÉTRIQUES. 269
Subslîluant dans I^inlégrale I el remarquant que le reste tend vers zéro, puisque /• est plus petit que Punité, on obtient la relation
1 z»*'^ , ^L ••lit
€t, enfin,
n = ce
<i6) I = ~ H- y r«(a;,cos/i(p-H h„ sin/iy),
en posant
C'est bien le développement que nous avons écrit plus haut; il est valable pour /' •< i j mais peut n'avoir aucun sens pour r = i . Nous donnerons à l'intégrale I le nom d'intégrale de Poisson,
20. L'intégrale I est une fonction de r et de <p, qu'on peut considérer comme fonction des coordonnées polaires. Nous avonssupposé /- <^ I ; le point (r, cp) restera donc à l'intérieur du cercle de rayon un. Quand ce point se rapproche d*un point de la circonférence C de ce cercle, l'intégrale tend-elle vers une limite?
La réponse n'est pas immédiate, car une circonstance singulière se présente. Puisque r tend vers un^ tous les éléments de l'intégrale tendent vers zéro, sauf un seul correspondant à r=i, tj/==(p, pour lequel il y a indétermination. On ne voit donc pas de suite ce que devient l'intégrale. Au surplus, nous avons déjà rencontré un exemple de cette nature quand nous avons traité le problème de Dirichlet pour le cas d'une sphère (Ghap. VI, Section II). L'intégrale que nous avons alors obtenue est entièrement analogue à l'intégrale de Poisson qui nous occupe maintenant.
Si la fonction /(cp) était développable en série trigonométrique, le développement en série, suivant les puissances croissantes de r, donnerait, sinon une réponse entièrement satisfaisante, du moins une indication sur la solution. Quand r tend vers l'unité, o restant constant, la série (i6) tend vers/(©). On sait, en effet, puisqu'on suppose que/('f ) est développable en série de Fourier, que cette série est convergente pour r = i et représente /('f)l il suffit alors
de se reporter au théorème d'Abel sur les séries entières pour en conclure que la limite de la série (16), pour r = i, est égale à /(<p). Ce mode de raisonnement a Tinconvénient grave de nous obliger à faire tendre le point (r, ç) vers le point (i , cp) de la circonférence C en suivant le rayon qui passe par ce point, et de plus il faut supposer que /('f ) est développable en série de Fourier. Le résultat est cependant exact dans tous les cas sous la seule condition que la fonction /(^) soit continue et admette la période %'iz. L'intégrale I tend vers /(<p) quand /• tend vers un; c'est ce que nous allons montrer en étudiant directement l'intégrale I avec M. Schwarz (*).
21. Nous avons besoin, pour faire cette étude, de la valeur de l'intégrale I pour /(vj;) = i . Elle se calcule immédiatement : la fonction sous le signe d'intégration est une fonction rationnelle de cos('i — cp), et l'intégrale indéfinie est l'expression à détermination multiple
- arc tang|^--— y tang ^^-^ J '>
appliquant la règle donnée précédemment à ce sujet (Chap. I, §6), on trouve que la valeur de I, pour /' •< i , est égale à -h- 1 .
Cela posé, désignons par A un point (r, cp) pris à l'intérieur de la circonférence C de centre O, et soit Mo un point fixe (i , Ço) sur cette circonférence. Il s'agit de trouver la limite vers laquelle tend l'intégrale I correspondant au point (r, ç) quand ce point se rapproche du point (i j ^o) en suivant une direction quelconque. L'intégrale I peut s'écrire
intégrale étendue à la circonférence, c'est-à-dire l'intégration étant faite entre deux valeurs de 4 différentes de 2 7v. Par suite, on aura
C) Voir deux Mémoires de M. Schwarz : Ueber die Intégration der partiellen Dijferentialgleicliung Aw = o fiir die Flàche eines Kreises {Gesammelte mathematische Abhandlungen, zweller Band).
SÉRIES TRfGONOHÉTRlQUES. 27 I
Or, la fonction /{^) étant continue, on peut trouver une quantité positive 28 telle que, sur tout arc de la circonférence C inférieur à 28, Toscillation de la fonction soit inférieure à une quantité positive e, donnée à l'avance, aussi petite qu'on voudra. On aura donc
pourvu que l'arc qui sépare le point (i, J') du point (i, fo) soit inférieur à 8, et cela d'ailleurs quelle que soit la position du point Mo sur la circonférence C; 8 étant ainsi fixé va rester constant. D'autre part, le point A, en se rapprochant du point M^, restera, à partir d'une certaine valeur de o, à l'intérieur de l'angle au centre, correspondant à l'arc 2 0, ajaht Mo pour milieu. Désignons par A| le point où le rayon prolongé OA rencontre la circonférence C et prenons de part et d'autre de A| un arc égal à 3. Soient s l'arc égal à 28 ainsi formé, lequel contient le point M©, et S le reste de la circonférence. Nous partagerons l'intégrale qui figure dans I en deux parties : l'une relative à 5, l'autre à S. La valeur absolue de la première sera moindre, quel que soit r, que
e-l f L^li:! rfi<e-L r" '-^^ d'^ = z.
9.7: ^/ç ï—ir cos{^ — o)-hr^ ' 2-^/^ i — •2/-cos(^ — ^}-^-''*
Passons à la seconde intégrale. On a, pour Tare S,
i — ir cos(^ — cp ) 4- /•' > "î /' — '^rcoso = •2/*(i — coso),
• et,, si g désigne le maximum de 1/(^)1, ou voit que la seconde intégrale aura une valeur absolue moindre que
/'(i — coso)
Cette quantité lend vers zéro quand r se rapproche de l'unité; remarquons d'ailleurs qu'elle est indépendante de la position du point Mo sur C.
Ainsi donc, étant donné le point Mo sur la circonférence C et une quantité y; fixe, mais aussi petite que l'on veut, on peut tracer, de part et d'autre de Mo, un arc de longueur 8 tel que, le point A restant à l'intérieur de l'angle au centre correspondant à cet arc 28 et étant suffisamment rapproché de la circonférence, la valeur
de l'intégrale correspondanle diffère de /('f 0) Je moins de i] : c'est dire que Tintégrale I, correspondant au point (/", <p), tend vers /(?o) quand ce point se rapproche d'une manière quelconque du point (i, «fo) tle la circonférence C (en restant intérieur à cette circonférence).
22. Dans l'étude précédente de l'intégrale de Poisson, nous avons supposé que la fonction /(à) était partout continue. Il ne sera pas sans intérêt d'étudier maintenant le cas où la fonction /(^) n'est pas partout continue, mais présente pour certaines valeurs isolées de ^ des discontinuités du genre de celles qui ont été étudiées dans la théorie des séries trigonométriques.
Nous supposerons donc que, pour une certaine valeur (fo, la fonction /(cp) ait, de part et d'autre du point correspondant, des valeurs limites différentes. Vers quelle valeur tendra Vintégrale I quand le point (r, cp) tendra vers le point (1, cp©)?
Pour traiter cette question, prenons d'abord un exemple particulier : si l'on faity(^) = 'i, on se trouve bien, sur la circonférence C, dans le cas indiqué; on peut, en effet, considérer qu'on a, sur cette circonférence, une succession de valeurs données par la loi précédente en faisant varier if entre o et 271. Pour ij^ = o et '} = 2 71, on obtient la même position Mo, et la différence des valeurs limites de la fonction, de part et d'autre de Mo, est visiblement égale à 2 7Î. Formons, pour ce cas particulier, Tintégrale I,
' ' -dl.
Sa valeur est facile à calculer au moyen d'un développement en série, ordonné suivant les puissances croissantes de r. Les coefficients du développement
-h 2r«(a«'cos/i^-h6«sin/içp), r<i,
dans lequel
sont ICI
ao=27r, an = o (n^i), ^>„=--.
On a dope le développement
r" sinn<p 11 = 1
wi r" sin
Pour calculer
^ r'*sin/Kp
prenons sa dérivée par rapport à r, qui est
11 = • X ^«-1 sinncp.
Or celte série est égale au coefficient de i = y' — i dans
r^^ r I -— re?'
On aura, par suite,
r»-* sin/i© = i
^ I — 2rcostp -f- r* 11 = 1
et, en intégrant,
2 r'» sinncp rsin© i = arc tang — i — , n ° I — r cos cp
Tare tangente, dans le secondmembre,étantrarc compris entre — et 4- -> qui s^annule pour r = o. Nous avons donc
I r^"^ , I — r* ,, rsincp
— I d; — r rfil = 7c — 2 arc tang 1
2it JJj ^i — arcos^^f — ïp)-r-r' °i — rcostp
L'arc tangente qui figure dans cette formule est susceptible d'une représentation géométrique très simple. Soient la circonférence G de rayon un et Mo le point correspondant à ^ = o, situé sur OX {fig' '7)- A. élantle point (r, <p), on aura
"^ ^^°^i- rcoso "" angle(OMoA), P. — I. 18
37^ ÉQUATION DE LAPLAGK. ~ DÉVBLOPPBMBNTS EN SÉRIES.
cet angle étant c lant a cet angle,
cet angle étant corapris entre — - et H — • On a donc, en appe-
TZ — 2a
comme valeur de l'intégrale. Quand le point A se rapproche de Mo, la valeur limite de cette intégrale dépend de la direction suivant
laquelle A se rapproche de Mo; cette valeur limite peut prendre toutes les valeurs entre o et 2ir qui répondent aux valeurs extrêmes
23. Après Tétude de ce cas particulier, nous n'aurons aucune peine à traiter le cas général. Il sutHra de se borner au cas où la fonction /(A) a un seul point M© de discontinuité, que nous supposerons correspondre à A = o ou ait, de telle sorte que
Désignons par |x la différence /(-|- s) — /(air — e). Nous avons à étudier Tintégrale
' ~ 2 Tt Jq -^^^^ r-"ï7^I'(ti; — cp)-f /•« ^'•'^
quand le point A(r, 'f) se rapproche de M©. Formons, à cet effet, l'expression
en considérant, comme tout à l'heure, ^j; comme une fonction d'un point variable sur la circonférence C avec le point Mo comme point de discontinuité. L'expression précédente sera alors une fonction
SÉRIES TRIGONOHÉTRIQUBS. HyS
contioue; car les deux limites, suivant qu'on se rapproche de Mo d'un côté ou de l'autre, sont
/(-h s) et /(2Tt — e)-H fJL.
L'intégrale
tend donc vers/(~i- e) quand le point A se rapproche d'une manière quelconque de Mo- Nous aurons, par suite,
-L/>(^) '-;• ^ ,rf^.=--'^-fu-2arctang ^^'"'^ )+X,
\ tendant vers/(H- e), de quelque manière que A se rapproche de Mq. De là'nous concluons
liinI=/(-i-e)— ^ -h^a,
en désignant par a la direction limite suivant laquelle A se rapproche de Mq. On voit ainsi que liml pourra prendre toutes les valeurs comprises entre
/(^-0 et /(2':r-£).
En particulier,
poura=-» on aura liml =y*(-i- e);
pour a = y » liml =y(2Tr — s).
Quand le point A se rapprochera de Mq en suivant le rayon OMq, la limite correspondante sera la demi-somme
V. — Théorèmes de Weierstrass sur la représentation approchée des fonctions (*).
24. On doit à Weierstrass des théorèmes très intéressants sur la représentation approchée d'une fonction. Pour établir ces pro-
(*) K. Weierstrass^ Sur la possibilité d'une représentation analytique des /onctions dites arbitraires d'une variable réelle (traduction par M. Laugel, Jowmal de Mathématiques , 1886).
positions^ nous allons nous placer à un tout autre point de vue que l'illustre géomètre, et nous allons utiliser les propriétés de l'intégrale de Poisson (*)5 nous indiquerons ensuite sommairement les considérations dont s'est servi Weierslrass. Reprenons l'identité
I = — 1 fi^) — r- d^
r{ax coscp -4- bx siiKp) -h. . .
-H /•'"(«OT coswcp + è,„sin/n<p) -H. . ., /'<!,
en supposant seulement la fonction /(^) continue et possédant la période 211. D'après le raisonnement du § 21 et en employant les mêmes notations, on peut, étant donné à l'avance un nombre e fixe, mais aussi petit qu'on veut, trouver un angle suffisamment petit 8, tel que
r(i — cos8)
et cela, quel que soit r et quel que soit o. Or on peut choisir /• suffisamment voisin de un pour que
r(i — cosS)
Soit r^ <; I une valeur de r satisfaisant à cette inégalité ; r< étant ainsi choisi va rester fixe. Nous avons, quel que soit cp,
|Ii-/(<p)l<2e, li désignant la valeur de I pour r = r^. Or la série
Il = — -i- ri(ai coscp -h hi sinçp) 4-. . .
■+- r^T^^m cos/np -+- bm sinmç) -h. . .,
dont les termes sont des fonctions de ©, est une série uniformément convergente. En effet, | am | et 1 6;» | étant moindres que 2^^, le coefficient de r^ reste inférieur au nombre fixe ^g. En prenant
( ' ) É. Picard, Sur la représentation approchée des fonctions ( Comptes rendus, t. CXII; 1891).
SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUBS. 277
m assez grand pour que le reste de la série
à partir du rang /n, soit moindre que e, le reste de la série qui représente I| sera aussi moindre, en valeur absolue, que e, quelque soit 'f. La valeur de m étant ainsi choisie, on aura alors une certaine suite finie de Fourier
F(o) = Ao-H Al cos«p-f- Bi sincp -+-. ..4- A,„cos/ncp-4- B^ sinm<p
telle que
|I,-F(cp)|<s et, par suite,
l/(9)-F(cp)|<3e.
On peut donc trouver une suite finie de Fourier F(<p) telle que /{'f) puisse être représentée par F (o) pour toute valeur de <p ai^ec l'approximation donnée à l'avance 3e.
' 2o. Nous avons supposé, dans ce qui précède, que la fonction /(o) était continue de o à 27t et admettait la période 2 7r. Soit maintenant f{o) une fonction déterminée et continue dans un intervalle (a, P) moindre que 27î; on pourra, sur la portion de la circonférence de rayon un où la fonction /{(f) n'est pas déterminée, prendre une fonction continue quelconque ayant les mêmes valeurs que la première en a et ^. A la fonction qui se trouve ainsi déterminée sur toute la circonférence on peut appliquer les considérations précédentes, et notre fonction y*(ç), déterminée entre a et p, se trouve alors représentée par la suite finie de Fourier
F(«p) = Ao-f- Al cos© -h Bi sincp -f-.. .-h A^ cosm^ -h BmsinnK^,
avec une approximation supérieure à une quantité donnée à l'avance, pour toute valeur de 'f entre a et p.
De ce théorème nous pouvons conclure un des théorèmes de Weierstrass. La fonction F (y) peut être développée en série ordonnée suivant les puissances croissantes de op
F(<p) = ao4- «1 «p -h . . . -+■ ai^^p^-h . . . ,
puisque chaque ternie de F(<p) est susceptible d'un tel développement. La série précédente est uniformément convergente dans Tintervalle (a, ^); on peut donc prendre n assez grand pour que, en
posant
P((p) = ao-4- ai<p —. . .-T- a«cp«,
on ait, quelque soit tp, entre a. et p,
et, par conséquent^ d'après l'inégalité analogue du paragraphe
précédent,
Ainsi, e étant donné à ^ avance, on peut représenter la fonction/{'f), continue dans l'intervalle (a, P), à l'aide d'un polynôme P(©), avec l'approximation donnée à l'avance 4e.
De ce théorème on peut déduire une représentation analytique, sous forme de développement en série, d'une fonction quelconque f{x)^ fonction continue de la variable réelle x dans un intervalle (a, p).
Soit, en effet,
ei, El, ..., Ert, ...
une suite de quantités positives décroissantes, formant une série convergente. On peut alors, conformément à ce qui précède, déterminer une suite de polynômes
Pi(ar), V^ix), ..., F«(x), ..., tels que, pour /i = i , 2, . . . , on ait
pour toute valeur de x entre a et p. Or posons
Mx) = Pi(x), . ., fn(x)=P„^i{X)-Pn{^).
on aura
/o(^)-H/i(^) -^...-H/rt(a?) = Pn-s-ii^T)-
Par conséquent l'on a :
avec
SÉRIBS TRIGONOVÉTRIQUBS. 279
La série
dont les termes sont des polynômes en x^ sera donc convergente et représentera /(j?). Nous ne nous sommes servi jusqu'ici que de ce que lime/i --^ o. Démontrons maintenant, sous la condition in-
diquée pour les e, que la série précédente est absolument convergente, c'est-à-dire que la série
!/o(^) I -H l/i(^) I -H...-- \Mx) I -...
est convergente. On a
l/(^)-P« (:r)|<e„, |/(J7)-P„^l(jr)| <e„^,,
donc
Or la série de terme général (e^ -h e;,^^) étant convergente, l'assertion est établie et il en résulte aussi qu'elle est uniformément convergente.
En définitive, nous pouvons représenter f{x) par la série de polynômes
fo(^) +-/i(ar)-f-...-h/«(iF) -+-..., absolument et uniformément convergente dans l'intervalle
Il est clair que cette représentation pourra être faite d'une infinité de façons.
26. Les considérations que nous venons de développer peuvent s'étendre à des fonctions d'un nombre quelconque de variables. Nous nous bornerons au cas de deux variables. En étudiant l'équation AV = o à trois termes, nous avons rencontré une intégrale tout à fait analogue à celle de Poisson, et à laquelle nous pouvons étendre les considérations précédentes. Reprenons donc rintégrale(Chap. VI, §7)
Jo J^ (i-arcosY-^r*)* où nous supposons que/(8', if') représente une fonction continue.
a8o ÉQUATION DE LAPLAGB. — DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIES.
et que cosy a pour expression
cosy = cos6cos6'-H sin6 sin 6' cos (^' — ^).
I est une fonction de r, 8 et A. Nous allons développer cette fonction suivant les puissances croissantes de r, comme nous l'avons fait pour l'intégrale de Poisson ; mais auparavant, il nous faut faire quelques remarques sur le développement de l'expression
v/ 1 — 'ir cos -^ -h r^
Cette fonction peut être développée suivant les puissances croissantes de r. Ce développement est convergent pour r < i ; on a en effet
I — 2 r cos Y -f- r' = (I — reY') (i — re-Y').
Chacune des expressions
et
v/i — reï' )/i — re-V
peut être développée suivant les puissances de r, pour r <[ i . On a ainsi, d'après la formule du binôme,
(i — reYO i z:= i-+--re'Y-h-^;rîe»^Y-h....
Ci — r<r-vr« r= i -h i /.g-zy >^ il? r» e-^'Y -i- . . . .
et, par suite, en posant
/i — ir cos Y -4- r' on aura
Po-i-Pir-h...^-P„r»-+-. ..,
On voit que P^, qui est nécessairement réel, sera un polynôme de degré n en cos y ; aussi le désignerons-nous par P„ (cosy). D'après la forme précédente, P„(cosy) atteint sa plus grande valeur pour Y mr o ; or, pour cos v := i , on a P„ == i , comme le montre le déve-
SfiRIBS TR160N0MÉTR1QUES. 28 1
loppement de
s/i — ir -^ r^ ' '^
Nous avons donc Tinégalilé suivante, dont nous aurons à faire usage dans un moment,
I Pn(COSY) 12l.
Ceci posé, du développement, valable, pour r <[ i,
. = Po-HPi(cosY).r-^-...-t-P«(coS7).r'»-h...,
VI — arcos-y -+- ''*
nous déduisons, en dérivant par rapport à r,
— i j = P|(cosY)-f- ...-+- /iP„(cos y)*'''*"'*-^. ■ .i
(1 — JLF cos Y -1- r* )*
et, par suite,
^ = Po-f-3Pi(cosY).r-H...-+-(2/i-t-i)Pn(cosY).r»-h...,
(i — arcosY"^ r*)'
et cetle série peut être considérée comme une série en 0' et ^ uniformément convergente. Par suite, en substituant dans Tintégrale I, il vient
développement dans lequel le coefficient de r" est une fonction entière et de degré n en cosO, siaôcostj^ et sinOsin<{^. Désignant par (a/i -i- i)Y« ce coefficient, nous écrivons
et Ton a, d'après ce que nous venons de dire relativement à
'P-(cost)|,
en désignant par^ une limite supérieure de |/(0', <{*') |.
27. Après ces préliminaires, nous avons peu de choses à faire pour démontrer qu'une fonction /(ô, '}), continue sur la sphère de rayon un, peut être représentée, avec l'approximation e, par une suite limitée
où l'on désigne d'une manière générale par Y^ un polynôme de degré m en cos8, sin9cos<j; et sinGsintj;. On a, en effet, le développement
n = go
En se reportanl à l'étude que nous avons faite (loc. cit.) de l'intégrale I, on verra, comme pour le cas d'une fonction d'une seule variable, que Ton peut choisir /•« <C i, tel que la série
/l = oo n=0
diffère de y (6, •}), quels que soient 0 et ^^ de moins de £. D'autre part, la série précédente est uniformément convergente, puisque I ^« I ^ S ^^ Q"^ '^ série
est convergente. En prenant donc un nombre suffisamment grand m de termes pour que le reste de cette dernière série soit moindre que e, nous aurons la suite finie
qui différera de /(O, ^) de moins de as. Le théorème est donc démontré.
Les conséquences sont évidemment les mêmes que plus haut. Si la fonction /(9, ij^), au lieu d'être déterminée sur toute la sphère de rayon un^ n'est déterminée que sur une partie, on complétera cette détermination sur le reste de la sphère d'une manière arbi-
SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUBS. 283
traire, en respectant seulement la continuité, et la conclusion relative à la représentation approchée de la fonction subsistera.
De la même manière, en développant cosQ, sinGcost]^ et sin6sin<{;, suivant les puissances de 0 et <{/, nous aurons une représentation approchée (à moins de e) de la fonction à Taide d'un polynôme en 8 et ^. D'où nous conclurons enfin le théorème suivant:
Toute fonction f{x^y) des deux variables réelles x et y. continue dans une aire A, peut être développée en une série uniformément et absolument convergente
Ai^^r) -^ f \{3;, y) -\-,,.-^fn(x, y )-■'-..., les termes de cette série étant des polynômes en x et y.
28. Nous allons indiquer maintenant sommairement la démonstration de Weierstrass; elle est moins simple que celle des paragraphes précédents, mais le principe qu'elle met en œuvre semble devoir être fécond et pouvoir être utilisé dans des recherches d'une autre nature, quand on en dégage bien nettement l'idée essentielle.
Nous avons considéré plus haut la série
(S) -- — (ai coscp H- bx sino) -r-. . .-- {Um, cosmo -+- bm sinmcp) -+-. . .
qui peut n'être pas convergente; nous l'avons rendue nécessairement convergente en multipliant le terme général par r'»*, et en envisageant ainsi la série
(2) —5 -4-(a, cos<p-f-6isin(p)rH-. . .-^(a;„cosmç-h6;nSinmcp)r'«— .. .
qui est identique à l'intégrale de Poisson, /* étant inférieur à un. L'idée de Weierstrass est différente. Il rend la série (S) nécessairement convergente en multipliant le terme général par e"*"*', / étant une constante positive. On a ainsi la série
(2) h(aiCOS<p-h6isiinp)e-'-}-...4-(a;»cosm<p-^6;„8inm<p)e-'"*' — ...
qui est convergente pour t> o.
384 ÉQUATION DE LAPLACB. — DÉYBLOPPBMENTS EN SÉRIES.
De même que nous nous sommes demandé plus haut quelle était la limite de la série I, quand r tendait vers un^ pareillement nous allons chercher quelle est la limite de Y! quand t tend vers zéro par valeurs positives. C'est là, au fond, quoiqu'il ne le dise pas explicitement, l'idée essentielle de Weierstrass.
Or on peut établir que la limite de S', quand t tend vers zéro, est égale à /(©). C'est donc un résultat analogue à celui qui a été obtenu plus haul, à savoir que la série S tend vers /(f ) quand r tend vers an, par valeurs inférieures à un. En remplaçant les a et b, qui sont les coefficients de Fourier, par leurs valeurs, la série S' se met immédiatement sous la forme suivante :
où
U = I -h2^cos/i(y — il;)e-'»''.
La fonction
est classique dans la théorie des fonctions elliptiques. En se servant d'une des formules usitées dans cette théorie ('), on peut établir que l'on a aussi
Ceci posé, supposons d'abord que f{i() soit égale à une constante C, on aura immédiatement pourS' la valeur C.
Pour traiter le cas général, écrivons, en désignant par cp une valeur^^re d'ailleurs arbitraire,
^=— y^ u[/(4.)-/(ç)]rf4.-f-/(cp),
(*) Le lecteur qui ne voudrait pas admettre l'identité des deux expressions données pour %{x) est prié de se reporter à un Traité des fonctions elliptiques. Il trouvera notamment dans le Traité d'Halphen (t. I, p. 364) tous les éléments de la démonstration.
SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUBS. 285
OU encore
Soit maintenant e un nombre donné à Tavance, aussi petit que l'on voudra, on peut fixer un nombre S tel que pour
|4,ç|<8 on ait
Faisons tendre dans l'expression de u — /('f ) la variable t vers zéro. 11 n'y a de difficultés que pour le terme de la sommation correspondant à /i = o, car pour ce terme le numérateur dans le coefficient de Texponentielle s'annule quand on fait ^ = cp. Pour tous les autres termes, on a
(A étant un nombre fixe), inégalité qui est une conséquence de l'inégalité évidente
e-** < — (pour a assez grand), a*
Donc dans u — /(?)? tous les termes tendent vers zéro qui correspondent à /i ^zé o, et leur somme tend aussi vers zéro quand t tend vers zéro, mais il nous reste à étudier
, /r- r*"^ (9:ziï
•2ir, .^,
Partageons l'intégration en deux parties, l'une relative à l'intervalle (?p — 5, ç + c), l'autre relative au reste des valeurs de 4 entre o et aiî. Pour le second de ces intervalles, comme (jp — 4 ne s'y annule pas, l'intégrale sera aussi petite que l'on voudra, pour t suffisamment voisin de zéro. Quant au premier intervalle, l'intégrale correspondante a une valeur moindre que
wW
