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'^86 ÉQUATION DE LAPLAGB. — DÉVELOPPEMENTS EN SÉHIBS.

et, par suite, en posant (p — 4 =^y^ l'intégrale est moindre que :

e 4/ dy

JVous sommes donc assuré qu'à partir d'une valeur sujfisamment petite de /, notre série S' diffère de/(f) d'aussi peu que Von veut, et cela quel que soit (f.

Pour arriver maintenant à la représentation approchée de/(ç) par une série limitée de Fourier, nous n'avons qu'à remarquer que la série S' différant de /(y), pour / = ^|, d'une quantité moindre que e, on a

/{ç)-i-Tj = - H- (ai cosçp -4- 6isincp)e- 't -f-. . .

-h (amcosmtf -h 6/nsin/nçp )€-'"''» -H. . .

avec

1 7) I < Ê (pour toute valeur de (p).

Or la série du second membre, regardée comme dépendant de <p, est manifestement uniformément convergente (ti reste fixe). On peut donc prendre m assez grand pour que le reste soit inférieur à e en valeur absolue, et l'on obtient ainsi une série limitée de Fourier qui diffère de/(©) de moins de 2ê; c'est le théorème que Ton voulait établir.

29. Les deux démonstrations que nous venons de donner du théorème de Weierstrass relatif à la représentation approchée d'une fonction continue périodique par une suite limitée de Fourier, ne supposent pas connue la théorie de la série de Fourier, telle que nous l'avons développée au début de ce Chapitre. Si l'on admet cette théorie, on peut très aisément démontrer en quelques mots le théorème, comme l'a fait voir M. Volterra(*).

Soit une fonction continue f{oc) de période 27c. On peut, comme nous l'avons vu au Chapitre I, partager l'intervalle de o à 2^, de façon que dans chacun d'eux l'oscillation de la fonction soit moindre que c.

(') ViTO VoLTBRRA, 5a/ principio di Dirichlet {Bendiconti del Circolo di Patermo, 1897).

Soit ab un de ces intervalles; on aura

/ra?)-/(a) = r, 1 rj < e,

f{x)-f{b)^T: ivi<£,

X étant dans l'intervalle ab. Soit, d'autre part, l'expression linéaire

F(x) est compris entre/(a) elf{b)^ et, par suite, F(x) — /{^) est compris entre /(a) — f{x) ei/{b) — f{x). Donc

|F(a:) -/(a:) I • ' 6 (:r étant dans a6).

L'ensemble des expressions linéaires F (a:) forme une fonction/,(j;) continue et périodique qui représente /(^) avec une approximation supérieure à e. D'autre part,/! {x) n'a évidemment qu'un nombre limité de maxima et minima; par suite, d'après le théorème de Dirichlet, f{x) peut être représentée par une série trigonômétrique uniformément convergente de o à 2tc Donc, en prenant dans cette série un nombre m limité de termes, on peut s'arranger de manière que la somme de ces m termes diffère de/i (x) de moins de s. Nous aurons donc ainsi une suite limitée de Fourier différant de f{x) de moins 2e, et le théorème est établi (*).

(') On trouvera encore dans les Bendiconti di Palermo (1900) (t. XXIII), une intéressante et très simple démonstration de M. Mittag-Leffler. Dans un remarquable Travail inséré dans Ie& Aanali di Matematica en 1698, M. Bairea donné la condition nécessaire et suffisante pour qu'une fonction d'une variable puisse être développée en une série simple de polynômes. M. Baireest revenu sur ce sujet dans le Bulletin de la Société Matfiématique^ 1900.

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