CHAPITRE X

I. — Généralités sur les séries multiples. Théorème de Cauchy.

1. Les développements en séries que nous avons considérés dans les deux Chapitres précédents étaient des séries simples, c'est-à-dire que les termes dépendaient d'un seul nombre entier. On a souvent à considérer, en Analyse, des séries multiples dont le terme général dépend de plusieurs nombres entiers; ceux-ci peuvent d'ailleurs être arbitraires ou satisfaire à certaines relations. Sans nous arrêter longtemps sur ce sujet, nous ferons sur les séries à double entrée quelques remarques générales, qui s'étendront d'elles-mêmes aux séries d'un degré quelconque de multiplicité.

Une série double, ou à double entrée, aura son terme général Um,n dépendant de deux entiers m et n positifs ou négatifs. On peut imaginer les points (m, n) marqués sur un plan, en les rapportant à deux axes de coordonnées; à chaque point (/n, n) on associera le terme correspondant Um^n- Nous dirons qu'une série à double entrée est convergente lorsque la somme des termes, correspondant aux points enveloppés par une courbe de forme quelconque, tend vers une limite déterminée, quand cette courbe s'étend à l'infini dans tous les sens, en suivant une loi arbitraire.

Quelques remarques sont immédiates. Tout d'abord, si une série à termes positifs est convergente pour une première suite de courbes, s'étendant à l'infini dans tous les sens suivant une certaine loi, elle l'est aussi pour toute autre suite de courbes, et la limite est la même. On peut toujours, en effet, imaginer qu'une

courbe de la seconde suite soit comprise eatre deux courbes de la première, et la remarque est évidente. En second lieu, étant donnée une série à double entrée, à termes positifs ou négatifs, lorsque la série que l'on obtient, en remplaçant chaque terme par sa valeur absolue, est convergente, la série proposée est aussi convergente ; la démonstration est la même que dans le cas des séries simples. Enfin, si les termes d'une série à double entrée sont imaginaires, la série sera certainement convergente quand la série des modules de ses termes sera convergente.

2. Il est clair qu'on ne peut songer à indiquer une règle générale pour décider de la convergence des séries doubles. Le théorème suivant, généralisation immédiate du théorème de Cauchy étudié précédemment (Chap. I, § 2S), sera souvent d'une application facile. Soit /{^, J') une fonction toujours positive; on suppose que, pour les valeurs de j: et j^, correspondant à tout point extérieur à une courbe fermée G, la fonction / diminue quand la valeur absolue de œ et la valeur absolue de y augmentent, et qu'enfin elle tend vers zéro quand les valeurs absolues de x ou de y grandissent indéfiniment. Dans ces conditions, la série à double entrée dont le terme général est

sera convergente ou divergente [quand on donnera à m et n toutes les valeurs entières possibles, le point (m, n) étant seulement extérieur à la courbe G], suivant que l* intégrale double

(I) JJf{^.y)dxdy,

étendue à la portion du plan extérieur à G, aura ou non un sens.

Pour l'établir, nous n'avons qu'à considérer l'intégrale précédente comme un volume V limité par la surface z=f{x^y)^ le plan xy^ et le cylindre ayant G pour section droite ; de même la série

peut être regardée comme représentant une somme de volumes de parallélépipèdes rectangles a^^ant pour base un carré de côté égal à Punité et pour ha'uteur/(/n, n). Si, à chaque carré dans le plan, on fait correspondre celui de ses sommets (/72, n) pour lequel x ei y ont à la fois la plus grande valeur absolue, la somme (2) ainsi effectuée sera une somme de parallélépipèdes intérieurs au volume V; la série (2) sera donc convergente, quand l'intégrale (i) aura un sens. Au contraire, si, à chaque carré, on fait correspondre celui de ses sommets (m, /i), pour lequel x eiy ont à la fois leur moindre valeur absolue^ la somme (2) sera une somme de parallélépipèdes extérieurs au volume V et, par suite, la série (2) divergera si l'intégrale (i) est infinie.