Prenons comme exemple la série de terme général

m et n recevant toutes les valeurs entières, sauf m = n=^ o.

Nous pouvons appliquer le théorème de Cauchy : il faut étudier l'intégrale double

r r dxdy

quand on l'étend à tout le plan, sauf à une région, de forme d'ailleurs quelconque, comprenant l'origine. En prenant les coordonnées polaires p et 0, cette intégrale devient

Cette intégrale restera finie, p croissant indéfiniment si

2|Jl — I > [ OU |Jt > I.

Ainsi la série double de terme s^énéral — z 5—7 sera conver-

gente si ix < i.

D'une manière plus générale, soit

ax^-h 7.bxy -h cy^

une forme quadratique définie et positive, c'est-à-dire où b^ — ac<Io

et a> o\ considérons la série de terme général

^ ani^ -+- 2 bmn -h c«* )l*

en donnant toujours à m et /i toutes les valeurs entières possibles,

sauf m = n = o.

Ce cas se ramène immédiatement au précédent, car le quotient

positif

am*-h ibnin ~{- cn^

quels que soient les entiers m et /ï, reste toujours compris entre deux limites déterminées différentes de zéro. Ainsi, k étant un nombre fixe, on a

et, par suite, la sérié proposée aura ses termes moindres que la série de terme général

et sera donc convergente si y. est supérieur à Tunité.

4. On peut facilement généraliser le théorème de Cauchy. Si la fonction /(^^y^ z) est toujours positive et que, pour tout point Xjy, z extérieur à une surface fermée S, cette fonction diminue quand la valeur absolue de j?, de ^ ou de ^ croît, et qu'enfin elle tende vers zéro quand les valeurs absolues de x, y ou z grandissent indéfiniment, la série triple

m^ftfp

étendue à toutes les valeurs entières, positives ou négatives, de m, n et/?, extérieures à la surface S, convergera ou divergera suivant que l'intégrale triple

fjjf^^'y' -) dx dy dz.

étendue à tout l'espace, moins le volume limité par S, aura ou non un sens.

2x^2 ÉQUATION DE LAPLACE. — DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIES.

En particulier, la série triple de terme général

- — r — - (en laissant de côté m = //=/; = o)

sera convergente si

•2fJl > 3,

comme on le voit en transformant l'intégrale correspondante par l'emploi de coordonnées polaires.

D'une manière plus générale, si ç(^, J^, z) désigne une forme quadratique ternaire, toujours positive (sauf pour x =yz=z =o, système pour lequel elle s'annule), la série de terme général

sera convergente si |x est supérieur a - •

On peut enfin, d'une manière tout à fait générale, considérer une série d'ordre p. La série de terme général

{/ni -h ml H-.., -Y- ml )\h

où Von exclut seulement m, = m2 = - • •= nip=^ o, sera convergente si

En effet, d'après le théorème de Cauchy, il faut étudier l'intégrale multiple

quand le champ d'intégration grandit indéfiniment dans tous les -sens. Or, si l'on pose

.Ti = jS sin6y,, sînO;,-2 sinôj cos6|,

cri= p sin9;,i sin6^j sinôj sinOi,

Xi = 0 ftinOp-, sinOs cosOj,

Xp= p COSÔ^i^i,

qui donne une transformation en coordonnées polaires dans l'es-

SÉRIES .MULTIPLES. QqS

pace k p dimensions (^,,j;.j,...,^;,), on voit que dx^ dx2 ... dxp^ après la transformation, aura en l'acteur p''"' ; or

la partie de l'élément relative à p sera donc ^^J^^t ■ L'intégrale, pour p infini, restera donc finie si

atJt — /? -h I > I ou 2{1>/?.

On en conclura que, dans les mêmes conditions, la forme quadratique/(xi, Xj, ..., Xp) étant définie et positive, la série multiple de terme général

sera convergente.

o. Le résultat précédent peut être généralisé de la manière suivante. Soit

Y{x^,x,, ..yX,,)

un pol)^nome de degré a/î en j:,, Xj, ..., Xp\ on suppose que l'ensemble des termes homogènes de degré 2/1 dans ce polynôme ne puisse s'annuler que pour ^r, = ^ra = . . . = *r^= o. Remarquons d'abord que, dans ces conditions, l'équation

(3) F(/7ii, m,, ..., //!,,) = o,

OÙ les m représentent des nombres entiers, n'aura qu'un nombre limité de solutions, car, d'après l'hypothèse faite sur les termes du plus haut degré, les valeurs de X|, x., . . ., :r^ satisfaisant à l'équation

F(a7,, 37;, .... Xp)= O

doivent rester finies.

Ceci posé, considérons la série multiple

l[F(m„ m,,..., mp)\^

étendue à toutes les valeurs entières, positives ou négatives, de mi, m2, ..., nip^ sauf, s'il en existe, aux systèmes de valeurs en

294 ÉQUATION DE LÀPLACK. — DÉYELOPPEMEIiTS EN SÉRIES.

nombre limité satisfaisant à l'équation (3). Le rapport ^il!^^ , nij, ,.., nip )

restera jnanifestement entre deux limites déterminées, quelles que soient les valeurs entières de /w,, m2, . . ., nip, sauf

/?î , = /nj = . . . — - nip =z o.

Donc, en désignant par k une constante convenable, les valeurs absolues des termes de la série sont moindres que les termes de la série suivante

jLà kV-im] ^- /nî 4-. . .4- mD^V-

Elle sera donc convergente si

2nii>p,

et cette règle sera d\ine application facile.

IL — Quelques applications.

6. Un exemple très général de série multiple nous est fourni par le développement en série trigonométrique d'une fonction de deux variables. Soit /(j?, y) une fonction continue des deux variables X eiy telle que

/{x -h 'iTz, y) =/(ar, y), f{x, y -f- m) =/(ar, y).

On peut développer cette fonction en une série double trigonométrique. Pour éviter toute discussion, nous supposerons que la fonction ait des dérivées partielles des quatre premiers ordres elles-mêmes continues et périodiques. En considérant / comme fonction de x^ nous aurons le développement

/(^» ^) = ~ -^ ^ (^/« cosma? -t- bfn sinmr),

dans lequel

a,;, = - / f{Xj y) cos mxdx, b,n= - / /(r, y) sinmarrfx.

cim 6t bm sont des fondions continues de y^ admettant la période 37: : elles pourront être. développées en séries trigonométriques, et Ton aura

2 (««,//» cos n^ -f- pn,,„ sin /ij),

ou

a/ï,/n=- / ^m cosnj^^r = — / / /(x,y)cosFnivcosnydxdy, P«,/«=- / a,rt sinn^d[;'= -- / / /{x,jr)cosmxsinnydxdy.

On développera de la même manière bm en série irigonomé- Irique avec les coefficients a^, ,„ et P„ „,.

Nous obtenons donc une série double trigonométrique, mais les termes sont groupés d'une manière déterminée. Peut-on les disposer d'une manière quelconque? Pour s'assurer que Tordre des termes est arbitraire, sous les hypothèses faites, nous n'avons qu'à chercher Tordre de aL,i^m et P/?,m par rapport à /i et à m. Or, en intégrant successivement par parties, et tenant compte de la périodicité de /et de ses dérivées, on a

et Ton a une expression analogue pour pn^mt ^'n,mi P/» m- ^^^ coefficients de

cosmarcosnj', cos m x^mnY, sin/wjr cosnj^, sin/7îa?sinw^,

sont donc de Tordre de — -— r (pour n = o, — ;— r est à remplacer

par -^ )• Or la série double de terme général — r— : est évidemment

convergente ; on aura donc, sous les conditions indiquées, le développement absolument ef uniformément convergent

m = ao n = a

-h 0L'„^,n sin mx cosny -4- ^'n^m s'mnix sin ny).

7. Comme application particulière, je considère la série double