entier positif

z est une quantité imaginaire quelconque, ainsi que o) et 03'; le rapport — n'est pas réel. Les points représentés par les quantités imaginaires

forment, dans le plan, les sommets d'un réseau de parallélogrammes qui couvre entièrement le plan; nous supposerons que z ne coïncide avec aucun de ces sommets. Nous allons montrer que la série précédente est convergente si a est supérieur à deux. Soient

z = a: -^ iy, cD = a-+-«p, a)' = YH-*ô («ô — Py ?== o). La série des modules des termes sera

[(a: -4- ma 4-/iy)*-+-('^ -+- /?i? -+- «5)*]'

Or, d'après le théorème du § 5, cette série sera convergente si [x> 2. Ce théorème est, en effet, applicable; car, dans le polynôme

l'ensemble des termes du second degré

(ma -+- nY)'-+- (m^ -h n8)*

ne peut s'annuler que pour m= n = o.

La fonction /(z) de la variable complexe -s, définie par la série précédente,

/(^)= 2 H(^H-/,.JH-na>> <'^>')'

niz=— 00 n=r— a

joue, dans la théorie des fonctions elliptiques, un rôle très important; elle ne change pas, en effet, quand on remplace z par z-V-tù et par z {- w'. Nous aurons l'occasion d'y revenir.

8. Ce sont des séries simples qui donnent le plus facilement des exemples de fonctions doublement périodiques, c'esl-à-dire restant invariables quand on remplace la variable x par ^ -h <o ou par X -f- w'. Soit, par exemple, la série

r— (to'=27:0:

( I 4- gx-h/nw ,S ^ '

pour toute valeur de x qui n'est pas de la forme

X = rrnà -H {in -r- i)iti, (m et /i entiers),

cette série sera convergente; on suppose que la partie réelle de oj n'est pas nulle.

On peut généraliser et former des séries de deux variables xely possédant quatre couples de périodes, et, quoiqu'elles présentent moins d'intérêt que la précédente, je m'y arrêterai un moment ( * ). Soient a, p, a', p' quatre quantités réelles (ap' — a'^^o); formons la série à double entrée

m = -4- 00 n = -4-oo ^ ^ gx^-/rta^-np ey+m-x'-\-n^'

et cherchons si elle est convergente. Posons

u = e^f V — eX, a - c*, 6 = eP, a = e^'j 6' — eP'; la série deviendra

^ ( Ma"* 6" -h 1 )* ( i^a'"» 6'« -f- 1 )*

Te rf/5 qu'elle est convergente pour toute valeur de u et i% sauf pour des valeurs réelles et négatwes.

Considérons d'abord la série pour u=z ç =.\, Nous avons

^ ( I -^ a'" 6« )* ; iH- a'" 6'« )* ' c'est une série à termes positifs; montrons qu'elle est convergente.

( * ) E, Picard, Sur certaines expressions quadruplement périodiques ( Bulletin delà Société mathématique, iS

Je considère le quotient

cette expression ne change pas quand on change x en — x; on a donc, œ étant positif,

Donc, quel que soit le signe de x^ nous pouvons écrire

et par suite

^ ^ " ^ < e-I'«a-^«Pl-|'«at'+«pM.

( i -H a'« 6« )» ( I -h a''« 6'« )* Mais, X ely désignant deux nombres positifs, on a

Comme, d'autre part, pour x positif et suffisamment grand,

UL étant un entier positif qui peut être pris arbitrairement, il en résulte que

et, enfin, nous voyons que le terme général de notre série est moindre que

[{ma-h /ip)«H-(m5c'-h/ip')»]H- La série (6) sera donc une série convergente.

Donnons maintenant k u ei i> des valeurs quelconques pourvu qu'elles ne soient pas réelles et négatives; en changeant m en — m et n en — /î, nous pouvons écrire le terme général de notre série

SOUS la forme

Or le module du quotient ^^^^ représente le rapport des distances des points i et u au point — a'^b", c'est-à-dire à un point situé sur la partie négative de l'axe réel. Ce rapport restera donc compris entre deux limites finies; il en sera de même pour

T^^TÂ^' ^^^ suite, la série (5) sera absolument convergente,

sauf pour les valeurs de e^ et e^ réelles et négatives, c'est-à-dire, en posant x = œ'-{- ijc", y =y-\- ly , quand

j;*'= (-iXr-h 1)7:, y = (2 A:' -I- 1)71 (X: et X:' entiers).

L'expression (5) ne change pas quand on remplace

X par X -\- 'ATzij ^parj^-haTci,

et, d'une part, simultanément,

X par X -^ QL et >" par j' -f- a' ; d'autre part,

a: par a? -h p et y par y -^^\

L'expression (5) est donc quadruplement périodique; mais la présence des valeurs de x et de j^, pour lesquelles l'expression n'a aucun sens, ne nous permet pas de la regarder comme une fonction de x et^, dont on puisse suivre toujours d'une manière continue la valeur entre deux systèmes (jc,, j^,) et {x^^^y^)-

9. L'expression précédente va nous fournir un exemple de développement en série trigonométrique ; changeons seulement lin peu les notations. Je considère la série

/n=+« ii = + oo

t*a(ar-f-ma))+p(^-4-rtco') ga'(x-f-/«a))-hp'(/+/ia)')

/n=— « n= — se

<o, co', a, a'^ p, P' étant toujours réels, et a^'— a'J5 ^z^ o. Il est

clair que celle expression ne diffère de celle que nous avons considérée plus haul que par Feffet d^une subslilution linéaire appliquée aux variables. Le Tableau de^ périodes est, pour l'expression précédenle,

G'i Ht

G, G', H et H' sont définies par les deux systèmes d'équalions

aG-4-pG'=2TT, a H + p H'= o; a'G-f-P'G'=o, a'H-+- p'H' = 27:.

L'expression n'a aucun sens pour les valeurs correspondant d'une part à

d'autre part à

en posant toujours

x = x-^ ix\ y =y^ if.

La fonction ^(o:, y^ est donc déterminée, en particulier, pour toute valeur réelle de x et y y et elle admet les périodes w et co'. Nous pouvons donc la développer en série trigonomélrique ; ce sont les coefficients de ce développement que nous allons chercher.

10. Avant de prendre le cas de deux variables, je traiterai le cas d'une seule variable, c'est-à-dire du développement de la fonction envisagée au §8,

gX-i-/rt(»)\S

co étant réel.

SÉRIES MULTIPLES. 3oi

La fonction /(o?) étant paire, nous aurons (*) Calculons les coefficients Ap : on aura

^P^" - I 7. 7T— T7Z:ïï7ïï7* cos -^--— dx,

^P eu

que Ton transforme de suite en

•y. /•"*"* e-^ opr.x . \ /•* e^ ipizx , A» — I 7 -^ cos -^^ dx= - I , -— cos -^- (/ar.

Il nous faut calculer l'intégrale précédente. En posant—^ = et, nous avons l'intégrale

I cos a X dx

qui, en intégrant par parties, peut s'écrire

I /•* sinaj- , — al dx\

mais

— e-x— e-«* -f- . . . -hf— i)"-i e-«^ -+- — ;