t-e-* donc
sin ax dx a
(') DaDs la théorie des séries trigonométriques, nous avons supposé la fonction/(x) définie dans l'intervalle (o, air); le développement en série procédait alors suivant les sinus et cosinus des multiples de x. Si la fonction /{x) est définie dans l'intervalle (o, u>) le développement procédera suivant les sinus et
cosinus de — - — > comme on le voit de suite en faisant le changement de variable
ITCX
qui transforme l'intervalle (o, (o) en l'intervalle (0,21c).
3p2 ÉQUATION DE LAPLAGE. — DÉVEL0PPBME^'T8 EN SÉRIES.
S) l'on remarque que
X er-^^ dx =
Jf sina
Or il est aisé de voir que le reste
^\ïiax dx
tend vers zéro, quand n augmente indéfiniment. La valeur absolue de cette intégrale est moindre en effet que
Jf c-^/«-»-Ojc ^ = — !
On aura, par conséquent,
Jf : :i co^ax dx = - -h > (—0" — : i*
Or on a l'identité
On en conclut
An = -
Le développement cherché est, par suite,
p=ao
où l'on a
(') Cette formule résulte du développement
sinz z ^ z^ — m^T<^
< Koir, par exemple, Briot et Bouquet, Fonctions elliptiques, p. 284.)
SÉRIES MULTIPLES. 3o3
11. Revenons maintenant à la fonction de deux variables é{x^y)^ pour la développer en série irigonomélriqiie. Celte fonction satisfaisant à la relation
son développement sera évidemment de la forme
7 7 ^p a cos — ^- cos ^ ■ - -+- Bp,<,sin -^- sin ^ , «
Calculons d'abord A^,y. On a
Ap«= -Î-T / / éix.y^CQ^ cos ^'''^ dxdy
qui se transforme de suite en
Posons
d'où
En posant
Ap,^ —
on aura
UXp-'-X»
. /«rkC >V f
/« j[. ^■^^(TtW'''''''^^^""''''^''^'''''^^^^^^
ou
Remplaçons maintenant
'2C0sa(Xic -;- \xv)co?>b{\' u-^- \i!v) par
cos(aX -h 6X')M.cos(a|i h- 6jji')t^ — sin(aX -f- AX')Msin(a|i-h ^jji')p -i-cos(aX — by)u,cos{a\L — b\i!)v — 8in(aX — 6X')Msin(a[Ji — 6fx')i'.
3o4 ÉQUATION DE LAPLACE. — DÉVELOPPEMEiNTS EN SÉRIES.
La partie relative aux sinus disparaît dans Tintégration. Il reste une somme de deux intégrales doubles; chacune d'elles est un produit de deux intégrales simples rentrant dans le type correspondant à une seule variable. Toutes réductions faites :
en posant
OLfi — a p \ w to / ap — a p \ to to /
A'- 'ATT- //?p^ ya'\ 9.rs / ^3 ^aX
Le second coefficient B^^^ s'obtient par un calcul tout semblable : on a seulement, entre parenthèses, une différence au lieu d'une somme. On trouve ainsi
Tel est ce développement en série trigonométrique : il présente, comme on voit, quelque analogie avec le développement en série trigonométrique delà fonction elliptique considérée plus haut et il peut ôtre regardé comme en étant, à un certain point de vue, une extension au cas de deux variables.
III. — Exemple de séries multiples où les entiers ne sont pas arbitraires.
12. Dans les séries multiples dont nous nous sommes occupé jusqu'ici, les nombres entiers, dont dépendait le terme général de la série, étaient arbitraires et prenaient toutes les valeurs entre — oc et -+-00. Il en sera souvent autrement; je vais en indiquer un exemple (*). Partons de la forme quadratique ternaire
(*) E. Picard, Sur une classe de groupes discontinus de substitutions linéaires {Acta rnath.j t. I).
SÉRIES MULTIPLES. 3o5
Je considère les substitutions à coefficients entiers
w = M,Uh-PiV-+-R,W, V =M,U-hPiV-hRtW, CI =M,U-f-P3V-i-R3\V
qui transforment la forme en elle-même, c'est-à-dire telles que Ton ait identiquement
m2 ^ ^;2 tv2 = U2 -f- V2 — \V2 ;
on aura les relations
PiMi-hP,Mî -P,M,= o, M , U, 4- Mj Rî — M3 R3 = o,
PlR, -h PjR,- P3R3=r:0.
Telles sont les équations auxquelles doivent satisfaire les neuf entiers (M, P, R). En tenant compte de ces relations, les formules de substitution se résolvent immédiatement par rapport à U, V et W; on trouve ainsi
U = M , M 4- Mj p — M3 ^^',
V= P,a-^ Pjw- Paiv,
\V =— Rjw— Rji^-i- R3(v,
d'où l'on conclut que le système (7) est entièrement équivalent au
suivant
MÎ-4-PJ — R*= I,
M5-rPÎ-R^^-i, MiM2-+-P,P2— R,R2 = o, M,IVl3-+-P,P3-RîR3=o, \ iMjMi-t-PaP,- R3Hi = o.
11 y a une infinité de nombres entiers (M, P, R) satisfaisant aux équations (7) ou au système équivalent (8).
Cela posé, considérons V ensemble des substitutions effectuées P. - I. 20
3o6 ÉQUATION DE LAPLAGE. -— DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIES.
sur les variables x et y, les coej/îcients étant entiers et satisfaisant aux relations précédentes :
Ces substitutions forment un groupe: par là on entend que deux substitutions de cette forme, faites successivement, donnent une nouvelle substitution du même tjpe; c'est là un point évident, puisque le produit de deux substitutions, qui transforment respectivement une forme en elle-même, sera une substitution jouissant nécessairement de la même propriété.
Nous allons montrer que le groupe des substitutions S est discontinu pour les points (x, y) situés à l'intérieur du cercle
c'est-à-dire qu'à chaque point A de Tintérieur de ce cercle ne correspond, par les substitutions du groupe, que le point A lui-même dans une aire suffisamment petite décrite autour de ce point.
