Reinarquons d'abord que de l'idenlité

on déduit de suite

X*-i-Y»--i= ~-. .' ___(:ps+yî n.

(Maar-t- f*j7-f- R3)* "^ ^

11 en résulte que, si le point (x^ y) est à l'intérieur du cercle F, il en sera de même du point (X, Y). Observons maintenant qu'il ne peut y avoir qu'un nombre Jini de substitutions du groupe pour lesquelles | R3 1 soit moindre qu'une quantité donnée. Cela résulte des équations (7) et (8) car l'équation

par exemple, montre que les valeurs absolues de M3 et P3 sont limitées en fonction de | R3 1, et les trois premières équations (7) apprennent successivement qu'il en est de même de M|, P, , R, et Ma, P2, R2-

Montrons encore, et c'est là le point essentiel, que, quand la valeur absolue de R3 grandit indéfiniment, le point (j;, y) restant à l'intérieur du cercle F, l'expression

grandit elle-même indéfiniment. On a, en effet, et, en posant

on aura

>\ — \Lx — ^y,

le second membre étant positif, comme nous allons le montrer. Il peut, en effet, s'écrire

or, puisque l'identité

( {ji j;' H- vy )* = ( [i« -^ V*) (ar'» -4- y») — ( {xj'— va:' )« montre que Il en résulte que

([xar'-f- vy )*< x''-{-y^

et de l'inégalité

!M3X-|-P5rH-R3|>|R3

se conclut de suite le résultat énoncé. | R.i | étant d'ailleurs au moins égal à l'unité, le dénominateur M^x -+- Pgj^ -f- Rj ne pourra s'annuler, et, par suite, la substitution

M,a:-hP^^^R,

Mjar 4- Pj^-H R3'

M,^-4-PiK

MiX -r- Ps^ -r- R3

3o8 ÉQUATION DE LAPLACE. — DÉYELOPPEMENTS EN SÉRIES.

donne toujours une valeur déterminée pour X et Y, quand le point [x, y) est à V intérieur du cercle T,

14. Ces remarques faites, la discontinuité du groupe se démontre immédiatement. En effet, la relation

montre que

'-X*-Y*<pT

Rj(,:pî^2)'

donc, quand, dans la suite des substitutions, la valeur absolue de R3 augmente indéfiniment, le point (X, Y) se rapproche indéfiniment de la circonférence F. Il en résulte que les points correspondants au point (x, y) sont nécessairement distants de ce point d'une quantité finie; donc, dans une région suffisamment petite autour du point [x^y)^ il n'y a, en dehors de ce point lui-même, aucun point qui lui corresponde par les substitutions du groupe. Le groupe est discontinu.