Le déterminant de la substitution

Pî

est nécessairement égal à ±: 1. Nous allons, dans la suite, considérer uniquement les substitutions pour lesquelles ce déterminant est égal à -j- I ; elles forment un sous-groupc dans le groupe général étudié jusqu'ici.

Il sera utile de calculer le déterminant fonctionnel

- ^ ^1 dx ôy

ày

Ox '

calcul facile

donne

DrX, Y) D(:r, y) ~

Psr^-

Ra)^

SÉRIES MULTIPLES. ScX)

Ceci posé, nous allons établir que la série multiple

2^ I Mjj^oH-l^ro-^- R

é tendue à toutes les substitutions du groupe, est convergente, le point (^o^JKo) étant toujours à l'intérieur du cercle F.

Pour l'établir, supposons d^abord le point (x^^ya) tel que la substitution unité (c'est-à-dire X = x, Y =y) soit la seule qui transforme ce point en lui-même : c'est ce qui arrive évidemment pour un point pris arbitrairement. Traçons autour du point(xo, j^o) une petite aire 80; les substitutions du groupe transformeront cette aire en une suite infinie d'aires S|, S2, .... Si l'aire 80 est assez petite, les aires 8 seront toutes extérieures les unes aux autres et n'auront pas de parties communes; c'est là une conséquence immédiate de la discontinuité du groupe, et de ce que le point (•2^01 J'o) et? par suite, tous les points de 80, ne peuvent être transformés en eux-mêmes que par la substitution unité. La somme des aires 6 est évidemment finie, puisqu'elle est moindre que l'aire du cercle F; or cette somme est

//c^XrfV,

étendue à toutes les aires 8.

Mais l'intégrale

étendue à une aire 8 transformée de 80 par la substitution (S),

peut s'écrire

dx fly