Rîl

étendue à toutes les substitutions du groupe, soit finie (on ne doit pas oublier que, dans l'évaluation de la somme précédente, plusieurs termes peuvent correspondre à la même valeur de R3). De la convergence de la série précédente il résulte bien que la série

jM3a7-+-P3r-^K3

converge pour tout point {^,y) à l'intérieur du cercle F, non seulement pour une position arbitraire de ce point dans F, mais alors même qu'il y aura plusieurs substitutions transformant ce point en lui-même.

16. Le résultat précédent permet de former un grand nombre de séries multiples absolument convergentes et représentant des fonctions remarquables dexet^. SoitR(x,r) une fonction rationnelle de X et y restant continue à l'intérieur du cercle F, sauf, peut-être, en un nombre limilé de points; de plus, sur la

circonférence même de ce cercle, on suppose essentiellement qu'elle reste finie. Telle serait, par exemple, la fonction

Telle serait encore la fonction

a étant une quantité positive supérieure à y/2 (pour que la droite a — X — y = o ne coupe pas le cercle T), Formons alors la série

la sommation étant étendue à toutes les substitutions du groupe. La fonction R, par hypothèse, ne devient discontinue que pour un nombre limité de points; considérons l'ensemble E des points qui leur correspondent par les substitutions du groupe.

Supposons que x ne soit pas un point de cet ensemble^ la série précédente sera convergente, car la valeur absolue de

\M^x 4- P37 -+- R3' M^x 4- P37 -h R37 restera toujours moindre qu'un nombre fixe; et de ce que la série

i|M3^-+-P3jK4-R3|

est convergente, on conclut de suite que la série proposée est convergente. Si (x^y) coïncidait avec un point de l'ensemble E, il y aurait un terme ou un nombre limité de termes qui deviendraient infinis dans la série, les autres formeraient une série convergente. La série précédente représente une fonction F{x,y) jouissant d'une propriété remarquable. Supposons qu'on effectue sur (x^y) une substitution du groupe

\ ' -^^ iKjX -h TZ:ty -h pa ' [iz^ -H r.^y -*- pj/

3l2 ÉQUATION DE LAPLACE. — DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIES.

chaque terme de la nouvelle série devient égal à un terme de la première, multiplié par le dénominateur des formules de substitution élevé à la troisième puissance.

On a donc

Ces fonctions sont les analogues des fonctions d'une variable, appelées t/u'ta/uchsiennes psLvM. Poincaré, et qui jouent un rôle si important dans sa théorie des fonctions fuchsiennes [PoiiicAaÉ, Mémoire sur les fonctions fuchsiennes (Acta matheniatica,