I. — Théorie des enveloppes. — Surfaces déyeloppables

1. Rappelons d'abord quelques formules relatives aux courbes gauches et aux surfaces. Nous avons vu que le carré de la différentielle d'un arc de courbe est donné par la formule

ds^ = dx^ -h dy^ -h dz^ .

Sur une courbe gauche, on peut fixer, arbitrairement d'ailleurs, un sens correspondant aux arcs croissants; la tangente menée en un point arbitraire M de la courbe dans le sens des arcs croissants est alors une demi-droite parfaitement déterminée. Nous désignerons toujours dans la suite par a, p, y les cosinus des angles que fait cette direction avec les axes de coordonnées; dans ces conditions on aura

__ dx a ^y __ dz

~ ds' ^ ~~ ds' ^ ~~ ds

Relativement aux surfaces, en désignant par p et q les dérivées

3l4 APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES DU CALCUL INFIMTÉSIMAL.

partielles -^ et ^» rëquationdii plan tangent en un point (jr,r, z) est

Si, au lieu d'être définie par la valeur de z en fonction de x eiy^ la surface est donnée par les trois équations

u et pétant des paramètres arbitraires, Téquation du plan tangent sera

en posant, comme nous Tavons fait précédemment,

D( r, z) df ôz dy ôz D( w, v) du dv dv du

Si le point considéré est un point simple de la surface correspondant aux valeurs Uq et Cq de ii et v, on peut toujours supposer la représentation paramétrique telle que les trois déterminants fonctionnels qui figurent dans Téquation précédente ne s'annulent pas simultanément pour w = Wq, çz^zv^; nous ferons toujours cette livpothèse dans la suite.

2. Ëlant donnée une famille de courbes représentée par l'équation

OÙ figure un paramètre arbitraire a, on sait que l'enveloppe de cette famille de courbes s'obtient en éliminant a entre l'équation précédente et l'équation dérivée

Oa

De plus l'enveloppe est tangente à chacune des enveloppées. Pareillement, étant donnée la famille de surfaces

l'enveloppe de cette surface, c'est-à-dire le lieu des intersections limites de chaque surface avec la surface infiniment voisine, s'ob-

THÉORIB DES ENVELOPPES. 3l5

tient en éliminant a entre cette équation et cette autre :

La courbe définie par les équations (i) et (2), qui est la limite de l'intersection de la surface (i) avec une surface infiniment voisine, s'appelle la caractéristique de la surface. La surface enveloppe est le lieu des caractéristiques; chaque enveloppée est tangente à l'enveloppe en tous les points de la caractéristique correspondante. Nous nous contentons de rappeler ces propositions tout à fait élémentaires.

3. Au lieu d'une famille de surfaces dépendant d'un seul paramètre arbitraire, considérons maintenant une famille de surfaces

dépendant de deux paramètres a et i.

En donnant à ces paramètres, à partir de deux valeurs déterminées a et 6, des accroissements Aa et A 6, nous aurons une surface voisine

qui coupera la première suivant une certaine courbe C. Lorsque A a et A 6 tendront vers zéro, la position limite de la courbe C dé-

pendra de la limite du rapport — • Pour préciser, considérons b

comme fonction de a, soit b = ?(«); la courbe limite sera alors représentée par les équations (3) et

Quelle que soit la fonction arbitraire <f (a), les courbes définies par les équations (3) et (4) auront en commun les points définis, pour chaque système de valeurs de a et ft, par les équations

àj (5) <' 0(1'""'

3l6 APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES DU CALCUL INFINITÉSIMAL.

Nous supposons, ce qui est le cas général, que, pour des valeurs arbitraires de a et fr, ces trois équations déterminent des points isolés (iC, y^ z). Les trois équations (5), par Télimination de a et 6, définissent une surface S qui est dite l'enveloppe de la famille de surfaces à deux paramètres représentée par l'équation (3).

Prenons un point arbitraire {x^y^ z) sur la surface S 5 pour cette valeur de x^ y^ s les équations (5) admettront une solution commune en a et 6. La surface (3) correspondant à ces valeurs de a et b et la surface S sont tangentes en (x^y, z). En effet, les coefficients p et g de l'équation du plan tangent à la surface (3) sont donnés par les équations

àf , àf df ^ ùf

dx ' Oz ày ' oz

Pour obtenir les coefficients/? et <7 de l'équation du plan tangent à la surface S, on peut imaginer qu'on ait tiré a et 6 en fonction de Xy j>', z des deux dernières équations (5) et porté ces expressions dans la première; ce qui donnera

df df df (ôa

ox oz aa \

dy ' dz ' da\dy^'^ dzj'" db\dy ' "^ Oz J

Oa da\ ôf/db db\

ôi'-^ô^)-^ôb[ôi-^^ô7)-''^

f>f àf àf /âa da\ àffàb db\

Ces deux équations sont identiques aux deux équations précé-

dentés puisque ^ = j- = o. Le théorème est donc démontré.

Remarquons que l'équation du plan tangent à une surface dépendant, en général, de deux paramètres arbitraires, toute surface peut, au point de vue précédent, être regardée comme l'enveloppe de ses plans tangents.

4. Considérons maintenant une famille de courbes gauches représentées par deux équations

qui renferment un paramètre arbitraire a. Cherchons si ces courbes gauches ont une enveloppe, c'est-à-dire s'il existe une courbe F à

THÉORIE DBS ENVELOPPES. 817

laquelle les courbes C restent tangentes. S'il en est ainsi, on aura sur chaque courbe C un point de contact, et les coordonnées de ce point seront des fonctions de a. Désignons parla lettre d les différentielles relatives à un déplacement sur la courbe C. On aura

àf . àf, àf .

-^dx -\- -f- dy -f- -;- dz = o, dx ôy -^ dz

ôo , do , à^ .

—^dx-^ -~- dy-^ V- «2 — ^' dx dy dz

Soit 3 une différentielle relative à un déplacement sur la courbe F; nous aurons

àf. àf ^ df^ df ^

dx dy ^ dz da

do ^ do ^ do ^ df ^

— î- OJ- -»-— r^ OX -*- -r- 0- -•- -r- o« — o.

dx dy dz da

Or les courbes C et F étant tangentes, il faut que

nous en concluons

dx __ dv dz ^

Qx ùy oz

df do

d7i " ' dû "

Ainsi les trois fonctions û^ y, z de a, correspondant au point de contact, doivent vérifier les quatre équations

df do

Ces quatre équations devront donc avoir une solution commune en x^y^ Zj quel que soit a. Cette condition nécessaire est bien évidemment suffisante.

Dans certains cas, la famille de courbes pourra être donnée par

les équations

Pour une valeur fixe donnée à a, si l'on fait varier le paramètre /, on aura une courbe de la famille. La courbe enveloppe, si elle existe, sera déterminée par l'expression de / en fonction de a. Les

3l8 APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES DU CALCUL INFINITÉSIMAL.

deux directions

■fût, -H- 8/, --'-8/

et

dt d2

devront coïncider. On devra donc avoir

à/ àr^ d^

df dt df df " d<ù ~ d^ ' doL dx doL

Ces deux équations devront avoir une solution commune en f, que) que soit a.

Une classe importante de courbes gauches, ayant une enveloppe, est celle des caractéristiques des surfaces dépendant d'un paramètre, dont nous avons parlé au § 2; les quatre équations sont, en eilet, dans ce cas,

elles se réduisent à trois,

j- àf d^r

-^ ' da d'-a

Les valeurs de x^y^ z en fonction de a, qu'on tire de ces trois équations, définissent la courbe à laquelle restent tangentes les caractéristiques.

S. Un cas particulièrement intéressant est celui ou la surface f se réduit à un plan. Soit donc le plan mobile

où A., B, C et D dépendent d'un paramètre a, La caractéristique de ce plan s'obtient en adjoignant à l'équation précédente l'équation

A':r-hI3>--C';;4-D'r=o,

les accents étant relatifs aux dérivées par rapport au paramètre a. Cette caractéristique est une droite, et le lieu de ces droites est une

THÉORIE DES ENVELOPPES. SlQ

surface réglée dont toutes les génératrices resteront tangentes à une courbé gauche. Celle-ci sera définie par les deux équations précédentes et la suivante

AV-hBV-f-C'xï-f-D'r^o.

Ces trois équations définissent x^y, z en fonction de a, et Ton a ainsi ,1a courbe à laquelle (ouïes les droites considérées restent tangentes.

On appelle surface développable toute surface enveloppe d'un plan mobile qui dépend d'un seul paramètre arbitraire. D'après ce qui précède, une surface développable est le lieu des tangentes à une certaine courbe gauclie.

Réciproquement, le lieu des tangentes à toute courbe gauche est une surface développable; nous allons, en efiet, prouver que, par chaque tangente à une courbe gauche F, on peut faire passer un plan

dépendant du seul paramètre /, en fonction duquel sont exprimés x^ y^ z pour la courbe gauche, plan tel que sa caractéristique soit précisément la tangente à la courbe F au point {Xyy^ z),

La caractéristique de ce plan est donnée par l'équation (6) et la suivante

d\ ^ . ^B , ^ , dC ,r, . dx ^(ly ^dz

Ces équations représenteront la tangente si

X djT ^ B dj' -»- C dz — o, d\ dx -H û^B dy -^ dCdz = o.

Telles sont les deux équations auxquelles doivent satisfaire les fonctions inconnues A, B, C de t. On peut les remplacer par les deux suivantes, entièrement équivalentes,

Xdx -+- B dy -^Cdz = o, A d^x -+- B d^y -r- G d^z = o,

qui déterminent des quantités proportionnelles à A, B, C, et, par

320 APPLIGATIO?iS GÉOMÉTRIQUES DU CALCUL INFINITÉSIMAL.

suite, l'équation du plan (6) est déterminée. Nous retrouverons ce plan plus loin sous le nom de plan osculateiir.

6. Toutes les surfaces développabies satisfont à une équation aux dérivées partielles qui les caractérise. Les coefficients de l'équation du plan tangent à une surface développable ne dépendent, par définition, que d'un seul paramètre. Or l'équation du plan tangent étant mise sous la forme

on voit que les dérivées partielles p et y, fonctions des deux variables indépendantes j? etj", sont Ibnctions d'un seul paramètre, et, par conséquent, fonction l'une de l'autre, soit

Dérivons les deux membres de cette équation successivement par rapport à x et par rapport à^ et posons, suivant l'usage :

l'on a :

/■ r-: ^'(rj)s, S ^ ^'{q)t et, par suite,

Ainsi, pour toute surface développable, quand on considère z comme fonction Ae x et ^, l'équation précédente aux dérivées partielles est vérifiée.

Nous allons établir la réciproque, c'est-à-dire qu'à toute fonction ;; de ^ et j% vérifiant l'équation

ri — s^ — o^

correspond une surface développable.

Reprenons l'équation du plan tangent

Z -- p\ — rj\ ~-(z —px — qy) = o.

Je dis d'abord que les trois coefficients P^ 7» ^—p^ — qy

THÉORIE DES E^ÎYELOPPBS. 3a I

sont fonctions de l'an d'eux. De l'équation rt — 5^=^ o, qui peut

s'écrire

dp dq dp dq __ dx dy dy àx ~^ '

on conclut d'abord que/) est fonction de q ,soit p = 'f (</). Ensuite, le déterminant fonctionnel de

z — px — qy et q^

se réduisant à xi^rt — 5*), sera également nul : donc i — px — qy est aussi fonction de q^ soit

(7) ^ -px — qy^ F(q).

Ceci posé, les lignes de la surface, représentées par l'équation

q = const.,

sont telles qu'en un point quelconque de chacune d'elles le plan tangent est le même. Nous allons voir que ce sont des lignes droites. Prenons, à cet effet, la différentielle totale des deux membres de l'identité (7); nous aurons

— xdp — y dq = F'(q)dq ou

Cette seconde identité (8) montre, avec l'identité ( 7), que le lieu des points de la surface où 9 a une valeur constante est une ligne droite; celle-ci est donnée par les deux équations

z—x^(q) —qy= F{q), ^xo\q)—y =F'(^),

et Ton voit, de plus, que la surface est l'enveloppe d'un plan mobile dépendant d'un paramètre arbitraire.

Il est clair que le calcul précédent suppose que q est une fonction de X et y^ qui ne se réduit pas à une constante; s'il en était ainsi, on raisonnerait sur/? au lieu de raisonner sur q. Dans le cas où p elq seraient des constantes, la surface serait évidemment plane.

322 ÀPPLICATrONS GÉOMÉTRIQUES DU CALCUL INFINITÉSIMAL.

7. La courbe a laquelle restent tangentes les génératrices d'une surface développable s'appelle Varête de rebroussement de cette surface. La raison de cette dénomination est la suivante : un plan quelconque, rencontrant en un point M Tarête de rebroussement, coupe la surface suivant une courbe qui a en M un point de rebroussement.

Pour établir ce fait, prenons le point M comme origine, la tangente en M à la courbe comme axe des x^ et le plan sécant comme plan des zy^ les axes n'étant pas nécessairement rectangulaires. On aura sur la courbe, en exprimant y el z eu fonction de x par la formule de Taylor,

y =z ax^ -^ bx^ 4- . . . , z = a'x^-^b'x^-^

Une tangente quelconque sera donc représentée par les équa

tions

Y— 7 = (2a x-hZb x^-\'...)i\ — x),

Z — z = (2a'iF-+-36'a?î-f-...)^X — ar).

Nous coupons par le plan X = o, on aura donc

Y =y — a?(2aar-t-36iF« + ...) = — a 3?*-+-..., Z = z — x{7.a'x -H 36'iF»H-. . .) = — a'x'^-\-

Nous avons donc une courbe plane pour laquelle les coordonnées d'un point quelconque sont exprimées à Faide d'un paramètre X, Les expressions de Y et Z commentant par un terme en a?-, à la valeur ^ = o du paramètre correspondra en général un point de rebroussement de la courbe.

8. Supposons que les génératrices d'une surface développable soient représentées par les deux équations

a? = a-5+7>, y = bz-\- q^

a^p^ b, q dépendant d'un paramètre a. Ces quatre fonctions ne peuvent être arbitraires; on trouve de suite la relation à laquelle elles doivent satisfaire en écrivant que ces droites ont une enveloppe. Les deux équations