THÉORIE DES ENVELOPPES

doivent donner la même valeur pour ^; on a donc

Cherchons l'ordre de la plus courte distance de deux tangentes infiniment voisines d'une courbe gauche. Les deux droites •

X ^ az-\- p, y =z bz -h q, X =:{a-^la)z-^P'h ùipj y = {b-i- £kb)z-hq -h £kq

ont pour plus courte distance

la Iq — \b \p

/( Aa)»-h (A6)«4- (a \b ^ b Aa;* or, en remplaçant

Aa par da -h - d* a -h -^ d* a -h

et pareillement, pour A6, A/?, £iq, on a Aa Iq — Aô Ip

= da dq — db dp -¥- - {d'^a dq 4- d'^q da — d^b dp — d*p db)-r. . . ,

les termes non écrits étant d'ordre supérieur au troisième. Or le second terme est la différentielle du premier qui est nul, d'après la condition trouvée plus haut. Le numérateur, dans la plus courte distance 5, est donc du quatrième ordre au moins; comme le dénominateur est du premier, il en résulte que S est au moins du troisième ordre. Cette intéressante remarque est due à M. Bouquet, qui l'a complétée en montrant que la distance ne peut être constamment du quatrième ordre, si ce n'est dans le cas des courbes planes, où elle est rigoureusement nulle, et dans le cas d'une surface conique.

Les termes du quatrième ordre sont, en effet, au numérateur

^(d^adq -+- d^q da — d^bdp-^ d^pdb) -f- \{d^a d^q — d^bd^p).

Supposons que cette expression soit identiquement nulle; comme on a, par hypothèse,

d^adq-^ d^q da — d> b dp — d^p db = o,

qui donne, par difTérentiation,

d^adq -^ d^q da — d^bdp — d^pdb — i{d^b d'^p — d^ad^q),

on en conclut

d^ad^q^d^bd^p = o.

Or on peut écrire

dq =.\ dbj dp = \ da, puisque

da dq — db dp = o,

et, en substituant dans l'identité précédente, on trouve

(9) dl{db d^a — da d^b) = o.

Supposons d'abord ^A = o, X sera constant, et nous aurons

q = \b-^ \L, p^la-^li',

|JL et |jl' étant des constantes. La droite aura donc pour équations

X — fx'= a(-« -+- X), ^ — |JL = 6(5 H-X);

la surface sera un cône ayant pour sommet le point

(x= |x',^ = îx, -5=— X).

Laissant ce cas de côté, nous aurons, en prenant le second facteur dans (9),

da ~~ db

Si a est le paramètre dont dépendent a et 6, nous aurons donc . da . db , ^

G étant une constante, et enfin

a=:Cb-hC\

C étant encore une constante.

Or soient (^, j', z) les coordonnées du point de contact de la droite avec son enveloppe ; on a

dx __ dy ^ dz a ~~ b ~~ I ^

THÉORri DES ENVELOPPES. 3a5

donc

rfa: = G rfj^ -h C dz, et par suile

x= Cy-hC'z-hC\

c'esl-à-dire que la courbe, dont nous avons considéré les tangentes, est une courbe plane.

Au lieu d'une famille de droites restant tangentes à une courbe, on peut considérer, comme nous l'avons fait (4), une famille de courbes gauches ayant une enveloppe. Le théorème de M. Bouquet peut s'étendre à ce cas général, c'est-à-dire que la plus courte distance entre deux courbes infiniment voisines est au moins du troisième ordre.

Nous entendons p^r plus courte distance de deux courbes infiniment voisines la plus courte distance de deux points très voisins des points de contact sur Tune et l'autre courbe.

On trouvera cette extension du théorème de M. Bouquet dans le Mémoire de M. Darboux, Sur les solutions singulières des équations aux dérivées partielles (Sachants étrangers, t. XXVIl, 2* série, p. 40- ^^ remarque additionnelle n'a d'ailleurs pas d'analogue dans le cas général.