II. — Surfaces réglées. — Congruences de droites

9. Nous venons d'étudier les surfaces réglées dont les génératrices ont une enveloppe. Prenons maintenant d'une manière générale une droite mobile

dont les coefficients a^b,p^q dépendent d'un paramètre arbitraire a. Cette droite engendre une surface réglée. Soit D une génératrice correspondant à la valeur a du paramètre; cherchons l'équation du plan tangent à la surface en un point M de D, qui sera déterminé par la valeur de z. L'équation du plan tangent est

de la forme

X — aZ — p H-X(Y — bZ— q) = o.

Il sera déterminé par la tangente à une courbe quelconque tracée sur la surface et passant par M. Considérons la section faite par le plan Z =: ;;. Les cosinus directeurs de sa tangente sont pro-

porlionnels à a^ z 4-/?', V z + y' el o; nous aurons donc

et l^équalion du plan tangent est par suite

(6'^ 4- ^')(X - aZ— /?)-( a'5 -h/?') (Y — 6Z - y) = o;

on a posé, bien entendu,

, da ""-Ta.' "■

Remarquons, en passant, que nous pouvonsretrouverde suite la condition pourque le plan tangent soit lemême en tous les points

de la génératrice. Le quotient —j^ — ^ ne devra pas dépendre de z

et l'on retombe bien sur la condition

Revenant au cas général, étudions la variation du plan tangent lorsque M se déplace sur la génératrice D. Pour cela, supposons que D coïncide avec Taxe des 5, c'est-à-dire que a, 6, /?, q soient nuls pour la valeur de a correspondant à la génératrice. L'équation du plan tangent devient

Si A désigne l'angle de ce plan avec le plan zOx au point M, on a

tang^= — i;.

Pareillement pour le plan tangent au point M i(o, o, ;• ), on a

et l'angle de ces deux plans tangents a pour tangente trigonométrique :

tang(4;-J;')= {z-z,)(b'p'^a'q')

^^^ ^^ ^a'z-hp')(a'z^-r-p')-^{b'z-^q')(b'z^-^q')

Au numérateur figure b'p' — a'gr' qui est supposé diflerent de zéro. Le dénominateur sera indépendant de z, si

TBÉORIK DES ENVELOPPES. 827

Soit, sur la génératrice D, 1 le point correspondant à cette valeur de z^ ; en appelant 8 Tangle que fait le plan tangent en M avec le plan tangent en I, on a

lange = K.Tm.

K étant une constante, c'est-à-dire ne dépendant pas de la position de M sur D. Cette loi de variation du plan tangent est due à Cliasles.

10. Le point I s'appelle le point central sur la génératrice D. Le calcul précédent nous y a conduit tout naturellement. On peut le définir géométriquement de la manière suivante : La génératrice D étant toujours l'axe Os, la génératrice infiniment voisine

D' sera

X = z da -^ dp,

y = zdô -T- dq.

La perpendiculaire commune à D et à D' se projette sur le plan des xy suivant une droite passant par l'origine et perpendiculaire à la projection de D'; elle aura donc pour équation

X db

D'autre part, cette dernière équation représente un plan contenant Oz et qui coupe D' en un point dont le z est donné par

l'égalité

da z db -\- dq db ~~ z da -\- dp

ou bien c'est-à-dire

z ( da^ -+- db^ ) ~- da dp -\- db dq = o, z{a'^-h 6'»)H- a'p'-i-b'q' = o.

Cette relation est celle qui définit la coordonnée Zi du point central. Donc ce point est la limite sur D du pied de la perpendiculaire commune à D et à la génératrice infiniment voisine.

11. Comme exemple de surfaces réglées, étudions la surface réglée la plus générale du troisième ordre. Par un point quelconque d'une telle surface ne passe qu'une seule génératrice rec-

SaS APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES DU CALCUL INFINITÉSIMAL.

tiligne, sinon toute génératrice rencontrerait trois génératrices fixes et la surface serait alors une quadrique. Or on peut tracer sur la surface une infinité de 'coniques, puisqu^un plan quelconque passant par une génératrice coupe la surface suivant une courbe du deuxième degré; les points d'une telle conique se déterminent individuellement. Donc, les génératrices de la surface, qui rencontrent cette conique, se déterminent aussi individuellement, c'est-à-dire que la surface est une surface réglée unicursale. En d'autres termes, les équations de la génératrice mobile peuvent se mettre sous la forme

X =^ az -\- p^ y — bz -h q, ^} Pi ^î 7 étant des fonctions rationnelles d'un paramètre.

Toute section plane de la surface est une courbe unicursale, car, si Ton joint au.\ deux équations précédentes l'équation d'un plan, ces trois équations détermineront x^y^^ z en fonction rationnelle d'un paramètre. Cette section est donc une cubique avec un point double. Il y a donc sur la surface une infinité de points doubles, formant une courbe ; suivant cette ligne, qui est une courbe double de la surface, se croisent deux nappes de la surface. Celte courbe double ne peut évidemment être qu'une ligne droite, car, autrement, toute section plane aurait au moins deux points doubles et, par suite, se décomposerait. Ainsi nous arrivons à la conclusion suivante : la surface a une courbe double rectiligne D.

Ceci posé, une génératrice quelconque rencontre la droite D; en effet, s'il n'en était pas ainsi, nous pourrions considérer deux génératrices arbitraires et la droite D. Il y aurait une infinité de droites rencontrant ces trois droites et formant une surface du second degré ; or, chacune des génératrices du second système, dans cette quadrique, rencontrerait notre surface gauche du troisième ordre en quatre points, et, par conséquent, lui appartiendrait; celle-ci serait donc décomposable. Soient alors quatre génératrices arbitraires qui, nous venons de le voir, rencontrent D. On peut mener deux droites rencontrant ces quatre génératrices; Tune d'elles sera D, désignons par G la seconde. Elle appartiendra à la surface qu'elle rencontre en quatre points. Ainsi, outre la droite singulière D, nous avons une seconde directrice recti-

THÈORfE DES ENVELOPPES. 829

ligne G. Ces deux droites ne se rencontrent pas (nous laissons de côté le cas exceptionnel ou elles se confondraient). Toutes les génératrices de la surface rencontrent D et G5 nous l'avons établi pour D. On le voit de suite pour G, en remarquant que la génératrice passant en un point arbitraire de la surface est nécessairement la droite passant par ce point et s'appujant sur D et G. Nous avons maintenant Tidée la plus nette de la surface; tout plan passant par G coupe la surface suivant deux génératrices qui se rencontrent sur D. L'ensemble de ces couples de droites forme la surface, dont deux nappes se coupent visiblement le long deD.

Par une transformation homographique, on peut s'arranger de manière que la droite G s'en aille à l'infini dans une direction de plan déterminée. La surface ainsi transformée est alors un conoïde. En prenant comme plan des :z'y un plan auquel restent parallèles toutes les génératrices, et Taxe des z étant la directrice du conoïde, l'équation de la surface se réduira à

et, la surface devant être du troisième degré, son équation sera de la forme

z{ax^-^ ib'xy-^ c'y^) = ax^-\- ihxy 4- cy"^.

Telle est la forme à laquelle on peut réduire l'équation d'une surface réglée du troisième ordre. L'axe des z est ici la droite double de la surface.

12. Sans nous arrêter plus longtemps sur les surfaces réglées, passons aux systèmes de droites dépendant de deux paramètres arbitraires. On considère donc l'ensemble des droites

X = az -h p, y=^bz-\-qt

a, 6, />, q dépendant de deux paramètres arbitraires a et |3. Cet ensemble s'appelle unelcongruence de draites.

Prenant une génératrice quelconque D de la congruence, correspondant aux valeurs ao et ^o des paramètres, proposons-nous d'abord le problème suivant: Peut-on faire passer par I^ une

33o APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES DU CALCUL INFINITÉSIMAL.

surface développable dont les génératrices appartiennent à la congruence? Il faul chercher, pour cela, si Ton peut établir, entre a et 3, une relation, soit p = cp(a), telle que la surface réglée correspondante soit développable et que, de plus, Po = 'f(^o)- Écrivons la condition pour que la surface réglée, correspondant à une relation entre a et P, soit développable. On a

da dq — db dp =^ o ou, en développant,

équation de la forme

où P, Q, R sont des fonctions connues de a et j3. Cette équation du second degré a, en général, deux racines fonctions continues de a et p dans le voisinage d'un système de valeurs «o et ^o? soit

Considérons Tune de ces équations, la première, par exemple. En faisant quelques hypothèses, d'un caractère très général, d'ailleurs, sur la fonction cp4(a, P), il sera démontré plus tard qu'il existe une fonction {3 de a satisfaisant à la première équation et prenant pour a = a© la valeur ^q- A. cette fonction correspondra une développable; il en sera de même pour la seconde équation différentielle. Nous pouvons, dès lors, énoncer le théorème suivant :

Il existe deux surfaces déi^eloppab les, formées par des droites de la congruence^ et passant par une génératrice arbitraire D de cette congruence:

Suivant que l'on considérera la droite D comme appartenant à l'une ou à l'autre de ces développables, on aura un point de con-

THfiORIB DES ENVELOPPES. 33 1

tact avec l'arête de rebroussement de chacune de ces développables. Ces deux points F» et F2 sont dils \es foyers relatifs à la génératrice T), Pour les trouver, il n'est pas besoin d'avoir obtenu les développables, c'est-à-dire intégré les deux équations différentielles écrites plus haut. Le z du point de contact de la génératrice avec son enveloppe sera en effet donné, pour la première développable, par

Ce dernier rapport ne dépend que de a et p. En y faisant a = a©, 3 = Po, on aura le z du point F| ; on trouverait de même le ;; du second foyer F2.

Les points F| et Fa décrivent deux surfaces Si et S2. H est clair qu'en général ces deux surfaces ne seront pas analytiquement distinctes : ce sont deux nappes d'une même surface, qu'on appelle la surf ace focale de la congruence.

Voici, au sujet de ces deux surfaces, une remarque extrêmement importante : la droite D sera tangente aux surfaces S| et Sj. Les arêtes de rebroussemenls A| et A2 des deux développables sont, en effet, situées sur S| et S2; la droite D, tangente à une courbe de chacune de ces surfaces, est donc tangente à ces

Fig. 18.

surfaces. Il est facile d'étudier la disposition des plans tangents aux deux développables. Déplaçons la génératrice D en la laissant tangente à l'arête de rebroussement A| de la première développable (yîg'. 18); le point de contact F2 de D avec la surface S2 décrira sur cette surface une courbe B2, distincte nécessairement -de l'arête de rebroussement A2. Donc le plan tangent à la pre-

mière dëveloppable en F2 et, par conséquent, tout le long de D, sera le plan tangent en F2 à la surface S2. Ainsi, le plan tangent à la première dëveloppable (celle qui correspond à l'indice un) est le plan tangent à la 5^con(ie surface S2, et inversement. Il peut paraître singulier, au premier abord, que le plan tangent à la surface Sf ne soit pas tangent à la première dëveloppable; toute difficulté disparaît si Ton remarque qu'il n'y a pas à considérer de plan langent à une dëveloppable pour les points de son arête de rebroussement qui est une ligne singulière.

13. On peut se placer à un point de vue un peu différent pour définir la surface focale. Reprenant la génératrice D de la congruence, je considère toutes les surfaces réglées appartenant à la congruence et passant par D. Cherchons si Ton peut trouver sur D un point tel que toutes ces surfaces soient tangentes en ce point. II. faudra, en se reportant à l'équation du plan tangent à une surface réglée, que le rapport

zda -^ dp

z db -h dq

soit indépendant de ^; ce qui nous donne

da èp da dp

db dq db dq

di'^ doL ^ d^'^d^

C'est une équation du second degré en z qui nous donnera donc deux points At et A2 sur la génératrice D. Or les deux foyers F, et F2 obtenus précédemment jouissent bien delà propriété trouvée pour A| et Ag. En effet, si nous considérons une surface réglée quelconque appartenant à la congruence et passant par D, le plan tangent à cette surface en F| sera le plan tangent à la surface. S| au même point, puisque la droite reste tangente à S| dans son déplacement. Toutes les surfaces réglées envisagées ont donc en F| le même plan tangent, et il en est de même pour le point Fj. Donc les points A, et A2 ne sont autre chose que les points F, et Fj. On peut, d'ailleurs, faire une vérification analytique immédiate, en remarquant que Téquation (i 1) se transforme en l'équation (10), si

THÉORfE DBS ENVELOPPES. 333

Ton pose

14. Nous allons étudier maintenant un cas particulier. On peut d'abord se demander si les droites d'une congruence arbitraire restent normales à une certaine surface. S'il en est ainsi, le .s du pied de la normale sur la surface est une fonction déterminée de a et p, et Ton a, pour toute variation rfa et d^ de a et p,

a dx '\- b dy -h dz = o

ou, en remplaçant dx et dy par leurs valeurs tirées de

X = az-h p, y — bz-\- q, (a* -H b^-\- \)dz -ir z{a da-\- b db)-^ a dp -h- b dq = o.

Pour voir si l'on peut trouver une fonction z de a et ^ satisfaisant à cette équation aux difTérentielles totales, posons

on aura, pour /, l'équation

, . __ adp -^ b dq

al — — " r

OU

Le second membre doit donc être une différentielle totale exacte, ce qui entraînera une relation qu'il est inutile d'écrire entre les quatre fonctions a, 6, /?, 7 de a et |3. Donc, il n'existe pas, en général, de surface normale aux droites dune congruence donnée.

On peut donner une forme géométrique très remarquable à la condition que nous venons de trouver. Pour simplifier le calcul, supposons que/? et q soient les deux variables indépendantes que nous avons désignées par oc et P; nous n'introduisons d'ailleurs

ainsi aucune condilion limitative si nous supposons que les axes de coordonnées n'occupent pas de position spéciale par rapport à la congruence. La condition pour que les droites soient normales à une surface s'écrit alors

Or considérons les plans tangents aux deux nappes de la surface focale, correspondant à une génératrice arbitraire ; on les obtiendra en formant d'abord l'équation différentielle correspondant auxdéveloppables passant par cette génératrice. Ce sera

da dq — db dp = o ou

(dpydb dp /da ^\ àa \dq ) dp dq\ôp àqj dq ^ '

Si m et ml sont les deux racines de cette équation du second degré en -^> les plans tangents ont pour équations

X — aZ— /? — (Y — bZ — q)m = o, X-«Z— /?— (Y — 6Z — y)/n'=o.

Cherchons à quelle condition ils seront rectangulaires. Cette condilion s'écrira

i-Ha*— a6(/n+ m') H- nim'{\ -h 6*)= o,

ou, puisque m et m' sont racines de l'équation du second degré écrite plus haut,

Or cette condition coïncide avec la condilion trouvée ci-dessus pour exprimer que les droites de la congruence sont normales à une surface. Nous sommes donc ainsi conduit à ce remarquable théorème qui paraît dû à Dupin :

La condition nécessaire et suffisante pour que les droites d^une congruence restent normales à une surface est que les

THÉORIE DBS ENVELOPPES. 335

plans tangents aux deux nappes de la surface focale ^ correspondant à une génératrice quelconquCy soient rectangulaires ^

15. Du théorème précédent se tirent d'importantes conséquences pour la théorie des surfaces. Considérons une surface S et l'ensemble de ses normales. Par chaque génératrice de celte congruence passent deux surfaces développables aj^ant, comme génératrices, des normales à la surface. Les pieds de ces normales forment sur S deux courbes ; nous pourrons donc dire que, par chaque point d'une surface, passent deux courbes sur la surface, pour les points desquelles les normales forment des surfaces développables. Nous reprendrons. bientôt avec détail l'étude de ces courbes, qu'on appelle les lignes de courbure de la surface. Les deux lignes de courbure qui passent en un point sont à angle droit, d'après le théorème du paragraphe précédent, car l'angle de ces deux courbes mesure évidemment l'angle dièdre des plans tangents aux deux développables passant par la normale. Les points où cette droite, considérée comme appartenant à l'une ou l'autre des développables, touche son enveloppe, jouent aussi un rôle important dans la théorie des surfaces.