III. — Généralités sur les complexes. — Complexes linéaires

16. On donne le nom de complexes de droites à l'ensemble des droites de l'espace

X = az -^Pj y = bz -h q,

^y ^î Py Ç dépendant de trois paramètres arbitraires a, p, y. 11 est clair que, par un point arbitraire de l'espace, passeront en général une infinité de droites du complexe, formant un cône. Proposons-nous une question analogue à celle que nous avons traitée (§ 13)pourlescongruences : une droite D du complexe étant considérée, peut-on trouver un point sur cette droite tel qu'en ce point toutes les surfaces réglées passant par cette droite et ayant pour génératrices des droites du complexe aient même plan tangent? Il faudrait que

z da -h dp

zdb-\'dq

fût indépendant de -~ et ~> ce qui donne

da dp âa dp àa dp

^ âi'^ ~dôi __ ^ 5p "^ Jp ^ ^ "^ ^

db dq ~~ àb ôq db ôq

Nous avons donc ici, pour déterminer 5, deux équations du second degré. En éliminant z entre ces deux équations, on aura une

relation

entre a, p et y. Le problème proposé n'a donc de solutions que pour les droites D satisfaisant à cette relation. On les appelle les droites singulières àyi coaupXexe, Elles forment une congruence qui est dite la congruence des droites singulières.

Sur une droite singulière D, il y a un point F satisfaisant à la question posée et dont le 5 est la racine commune aux deux équations écrites plus haut. En ce point F, toutes les surfaces réglées passant par D et appartenant au complexe ont même plan tangent P. Les points F forment une surface : on l'appelle la surface des singularités du complexe. Cette surface des singularités est une nappe de la surface focale de la congruence des droites singulières. Au point F, la surface des singularités a pour plan tangent le plan P.

17. Les complexes algébriques sont particulièrement intéressants; on les a classés d'après leur degré. Quelques explications préliminaires sont indispensables, relativement au mode de représentation d'une droite. Une droite étant donnée, nous pouvons écrire les équations de ses projections sur les plans de coordonnées sous la forme

[ L =jZ-5Y,

x^ y, z désignant les coordonnées courantes. Les six constantes L, M, N, X, Y, Z peuvent être dites les coordonnées de la droite. Elles ne sont d'ailleurs pas indépendantes, puisqu'on a évidem-

THÉOBIE DES ENVELOPPES. 887

ment la relation