LX-f-MY-hNZ = o

Réciproquement, étant données six quantités L, M, N, X, Y, Z liées par la relation précédente, on peut dire qu'elles définissent une droite; cette droite est celle que représentent les équations (12), qui se réduisent alors à deux. Nous avons donc de cette façon un système de six coordonnées liées par une relation, et, comme ces coordonnées sont homogènes, nous avons bien le degré d'indétermination représenté, comme il doit êire, par le nombre quatre.

Ceci posé, un complexe algébrique sera représenté par une équation de la forme

F étant un polynôme homogène en L, M, N, X, Y, Z. Si ce polynôme est de degré m, le complexe sera dit d'ordre m.

Deux remarques sont évidentes. Les droites du complexe passant par un point arbitraire (^o> J^o? ^o) forment un cône, et, puisqu'on a

F(^oZ---5oY, 3oX — J7oZ, aroY — ;^oX, X, Y, Z) = o

et que X, Y, Z sont les coefficients de direction de la droite du complexe, le cône sera évidemment d'ordre m. En second lieu, les droites du complexe situées dans un plan enveloppent une courbe de classe m; car, par un point du plan, on peut mener à cette courbe m tangentes, qui sont les intersections du plan avec le cône d'ordre m correspondant au point.

18. Après ces généralités, considérons en particulier le cas où le complexe est linéaire^ c'est-à-dire du premier ordre. Son équation sera alors

(i3) AL -i- BM H- CN -h DX -f- EY H- FZ = o,

A, B, C, D, E, F désignant des constantes.

Toutes les droites du complexe passant par un point seront

alors dans un plan, et, inversement, toutes les droites du complexe

situées dans un plan passeront par un même point de ce plan; ce

sont des conséquences immédiates des deux remarques faites à la

fin du paragraphe précédent. Un complexe linéaire établit donc «ne relation entre les points et les plans de l'espace : à chaque point correspond un plan passant par le point et, inversement, à chaque plan correspond un point situé dans le plan.

Étant donné le point (j^oj^o^ ^o)> cherchons l'équation du plan correspondant; la relation entre X, Y, Z sera alors

A(jroZ — ^oY)-f-B(^oX — aroZ)-+-G(aroY— >'oX)-hDX-hEY-hFZ = o,

et nous aurons l'équation du plan en remplaçant X, Y, Z par X — aro, y — J^oi ^ — -«o* On a ainsi

(ar— aro)(Bzo— C7o-hl>)H-(7— 7o)(Ca:o— A^o-^E)

-\-{z — j?o)(Aj^o— Ba?o-l- F) = o.

Telle est Téquation du plan correspondant au point (j'oj.Xo ^q). Ou dit que ce plan a ce point pour pôle ou pour foyei\ et inversement le plan est dit le plan polaire du point.

Une notion importante dans la théorie des complexes linéaires est celle des droites conjuguées. Soit D une droite n'appartenant pas an complexe; cherchons le lieu des foyers des plans passant par D. Appelons F et F' les foyers de deux plans particuliers, d'ailleurs quelconques, passant par D; je dis que la droite A joignant F et F' sera le lieu cherché. En eflPet, tout plan passant par A aura nécessairement pour foyer son point de rencontre y avec D, puisque les droites (pFet cpF' sont des droites du complexe. Il en résulte que toute droite rencontrant D et A appartient au complexe, et enfin qu'un plan quelconque passant par D a pour foyer son point de rencontre avec A. Le lieu cherché est donc la droite A. Les droites D et A sont dites droites conjuguées; il y a évidemment entre elles réciprocité.

19. La correspondance entre points et plans, que nous venons d'indiquer, comme résultant de la notion de complexe linéaire, se rencontre dans plusieurs théories de Mécanique. Prenons, par exemple, la théorie cinématique du mouvement d'un corps solide; Téquation

(jr-aro)(B4îo-C^o- -D)-h(j^-jro)(Garo-A^o-t-E)

-f- (« — ZoXAjo— Bxo-+- F) = o

THÉORIE DES ENVELOPPES. SSq

du plan correspondant au point (otcJ'oî ^o) est susceptible d'une interprétation immédiate.

Si l'on considère un solide en mouvement, à un moment déterminé, les composantes de la vitesse r^j ^y^ ^z d'un point quelconque {oc^y^ z) sont données par les expressions de la forme

Dm-B^-

-CjK,

:E-4-Car-

Vz =

-Bj:.

Le plan considéré sera donc le plan passant par (^o? J^o, ^o) et perpendiculaire à la vitesse de ce point. L'identité est donc complète entre la théorie des complexes linéaires et l'étude cinématique des vitesses, à un moment déterminé, des divers points d'un solide invariable. Il suffit de signaler cette analogie,' qu'il serait facile d'approfondir davantage; ainsi l'on verrait aisément que les droites du complexe sont les droites normales aux trajectoires de tous leurs points.

Nous remarquerons seulement que, si l'on se reporte à la théorie du mouvement d'un solide, on peut obtenir une forme réduite très simple de l'équation du complexe. Faisons en effet un changement d'axes de coordonnées, en prenant comme axé des z l'axe du mouvement hélicoïdal : on aura, dans ce cas, pour Vx^ Vyt ^z des expressions de la forme

et, par conséquent,

L'équation du complexe se réduira alors à

CN 4- FZ = o.

Revenant au cas général, ajoutons enfin que l'on n'aura pas entre les constantes A, B, C, D, E la relation

AD H- BE -f- GF = o,

si ce n'est dans le cas particulier où la vitesse d'un point quel-

34o APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES DU CALCUL INFINITÉSIMAL.

conque du corps est perpendiculaire à la direction

jî — Z - f A " B "" G'

c'est-à-dire où le mouvement se réduit à une rotation.

20. Une classe inléressanle de courbes gauches est formée par les courbes dont les tangentes appartiennent à un complexe linéaire donné. Nous les rencontrerons plusieurs fois dans la suite. En supposant les coordonnées x^ y^ z d'un point quelconque de la courbe exprimées en fonction d'un paramètre, les tangentes de cette courbe appartiendront au complexe linéaire représenté par l'équation (i3) si l'on a :

I X(ydz — z dj')-^B(zda: r-2:djs)

\ -^C(xdjr — ydx)-{-Ddx^Edy-hFdz = Oj

puisque X, Y, Z sont en chaque point de la courbe proportionnels à dx^ dy, dz. Un exemple de courbes dont les tangentes appartiennent à un complexe linéaire nous est fourni par la cubique gauche. On sait que la cubique gauche est l'intersection de deux surfaces du second degré ayant une génératrice commune. Prenons deux quadriques ayant en commun l'axe des 5,

A a:* -h A'j» -h iByz-h iB'zx-h iB^xy-h 2Drr-T-2E/ = o, a r--f- ay^-î- ibyz-\- i^b' zx -{- T.b" xy -\- ^d x -\- 7.e y =^ o\

coupons la cubique par le plan^ = a.x. On voit que les coordonnées x^ y^ z s'exprimeront en fonctions rationnelles de a, sous la forme suivante

^-Pi(a)' ^ Pi(a) Pi(a)'

les P désignant des polynômes du troisième degré en a. Réciproquement, d'ailleurs, une courbe gauche donnée par les équations précédentes sera, en général, une cubique gauche.

Montrons que les tangentes de cette courbe appartiennent à un complexe linéaire. Pour cela, il faut faire voir que l'on peut