I. ~ Contact des courbes planes

1 . Soient C ei G deux courbes planes a^ant un point commun M qui est pour Tune et l'autre un point simple. On dit que ces deux courbes sont, aupointM, uncontactd'ordre/z, lorsque, à un point A de C infiniment voisin de M, on peut faire correspondre sur C un point A' infiniment voisin de M et tel que la distance AA'soit un infiniment petit d'ordre n + i relativement à Tare MA, ou, ce qui revient au même, à la corde MA.

Cherchons les conditions qui expriment que les deux courbes C et G' ont, au point M, un contact d'ordre n. Soit la première courbe représentée par les deux équations

le point M(xQyyo) correspondant k t = t^. On suppose la représentation telle que/'(^o) etF'(/o) ne soient pas nuls tous les deux, ce qui est permis puisque le point M est, par hypothèse, un point simple de la courbe. Semblablement la courbe C sera définie par les équations

ar = ç(a), ^ = 4>(m);

on a j:o= 'f (w©), j'o= ^(''o)? et l'on suppose que ç'(wo) et <1>'(mo) ne sont pas nuls tous deux.

Pour établir une correspondance entre les points de C et de G' voisins de M, considérons u — Uq comme fonction de ^ — to, et supposons qu'on puisse développera — ii^ suivant la formule de

Taylôr

(i) u '- Mo= Xt(^— fo)-+-Xî(/ — ^o)*-H ... -+-\„{t-to)"-^ .... Tout d'abord la corde MA est de l'ordre de t — Iq, On a en effet

MA =[/(0~/(^o)]«^[F(0-F(/o)]«;

la partie principale du second membre sera donc, en développant chaque terme par la formule de Tajlor,

le coe(ficient de / — Iq n'étant pas nul, MA sera de l'ordre de / — t^. Nous avons donc à exprimer que AA' est d'ordre n -\- i par rapport à / — /o-

Cela étant, puisque

ÂÂ^'=(ar-:r)«-h(y-j^)«,

nous devons écrire que x' — x et y — y sont d'ordre n -+- i relativement à t — ^0) c^s conditions nécessaires sont évidemment suffisantes. Or les coordonnées x ely^ ainsi que x' et^, peuvent être développées suivant la formule de Tayior

Remplaçons dans la seconde ligne u — ii^ par son développement (i), et exprimons que les n premiers coefficients dans la différence x' — X sont nuls, en remarquant que le premier terme disparaît de lui-même puisque /(Cq) = ff{uo)' Nous avons ainsi n équations où figurent les n inconnues X|, ).2, . . ., X;,. Ce sont

La différence^ — y nous donne aussi n équations qui ne diffèrent de celles-ci que par le changement de/ et ^ en F et ^. On a

donc

X,*'(ao)-F'(^) = o,

En résumé, nous avons 2/i équations, pour déterminer les n inconnues Xf, ^2, . . ., X«.

Il y a donc n équations de condition qui doivent être vérifiées par les n premières dérivées des fonctions/, F et ç, ^, pour t = t^ et w = I/o. Ces conditions peuvent s*obtenir par un calcul très régulier. Comme cp'(tto) et<l>'(Wo) "^sontpas nulsàla fois, nous supposerons, pour fixer les idées, ©'(1/0)^0. On considère alors le premier système d'équations ; la première équation donne X| , la seconde donnera X2 et ainsi de suite, sans qu'on soit jamais arrêté, car le coefficient du nouveau X qu'on veut déterminer est toujours <p'(i/o). On portera ensuite les valeurs trouvées de X,, Ao, . . ., X« dans le second système el Ton aura les n conditions cherchées.

Telle est, sous la forme la plus générale, la solution du problème du contact.

2. Faisons à ce sujet diverses remarques. En comparant les premières équations de chaque groupe, on trouve

f\U) (p'(ao) *

Ainsi les deux courbes ont en M la même tangente; ce résultat était évident a priori.

Comparons maintenant les arcs MA et MA'. Les parties princi-

pales de MA et MA' sont

(' - *o)*[/*('o) 4- F'î('o)], (u - ao)« [?'H«o) -h *'î( u,)\

La dernière expression peut se remplacer par

le rapport de ces deux expressions est donc

qui est égal à runité, d'après la première équation de Tun et l'autre système écrit plus haut. Nous en concluons que