MA

Il en résulte, ce qui, d'ailleurs, devait être par raison de symétrie, que AA' est du même ordre infinitésimal par rapport à MA et à MA'.

3. Dans les applications, il arrivera rarement que les courbes C et C soient données sous la forme très générale que nous avons adoptée. Un premier cas particulier est celui où la fonction <f(u) n'est autre chose que /(w), avec Uo= h' Les deux courbes sont alors données par les équations

^""^ lr = F(0.

Les conditions de contact vont se simplifier. En supposant

/'(to) yé. o, la première équation du premier système donne )n = i

et les autres

Les équations de condition sont alors

P(/o) = *'(^o), F'(/a) = *'(^o), . . ., Ft«)(^o) = *^«'(««).

Donc, pour que les deux courbes aient au point M un contact d'ordre ^, il faut et il suffit que les deux fonctions F et <1> et leurs n premières dérivées soient égales pour ^ = «^ = ^o«

Un cas plus simple encore est celui où les deux courbes sont définies par les deux équations

Les conditions, pour que le contact soit d'ordre /i, se réduisent à

F(Xo) = *(:ro), F'(;ro) = *'(^o), • • -, F('»>(:fo; = *^«^(^o).

C'est sous cette forme que Lagrange a traité la question du

contact des courbes. Considérons les deux courbes C etC passant par le point M(^oiyo)- Si nous donnons kx k partir de Xq un accroissement X — 070, les coordonnées des points des deux courbes, qui ont pour abscisse x, sont exprimées par les développements

y = F(a7o) -4- (:r - xo) F'{xo) -^ . . .H- ^^~^o)" F(«J(:ro) -i-. . . .

Y^ *(aro)-4-(3r- a^o) *'(^o) H-- • •+ ^^fl^îll^ * ^^^ (xo )-+-.. ..

Dans ces deux séries, les n premiers coefficients sont les mêmes ; la différence Y — y des ordonnées est donc un infiniment petit d'ordre n -h I par rapport à a: — Xq* Ainsi, dans le mode de correspondance actuel, que Lagrange se donnait a priori, on prend pour points correspondants des deux courbes les points qui ont même abscisse (on suppose, bien entendu, que la tangente en M n^est pas parallèle à Taxe Aesy). Remarquons que, si n est pair, la différence Y — y change de signe avec x — Xq] donc, si deux courbes ont en un point un contact d'ordre pair, elles se traversent. Le contraire a lieu quand le contact est d'ordre impair.

4. Voici une dernière forme des conditions de contact qui est d'un usage fréquent. Supposons que la première courbe soit définie par l'équation

l'autre par les relations

et que les deux courbes aient le point commun (^o»^o) correspondant h t = t^.

Si nous remplaçons :r par/(/) dans X(x,^), l'équation

définit une certaine fonction ^ = <!>(/), se réduisant à y^ pour t r- t^^. On peut alors concevoir la première courbe comme définie par les équations

et appliquer les conditions de contact trouvées précédemment : les deux fonctions F(^) et ^[^t) auront mêmes dérivées jusqu'à

l'ordre n, pour t = Iq, d'où résulte que les deux fonctions

M/(O,F(0] et X[/(0,*(0]

auront aussi mêmes dérivées jusqu'à Tordre /i pour t=ztQ. Or, celte dernière fonction étant identiquement nulle, il en sera de raéme de ses dérivées. Par conséquent, la/onction\[/{t)y ^i^)] et ses dérivées jusqu'à l'ordre n s'annulent pour t = t^, et ces conditions nécessaires pour le contact d'ordre n sont en même temps sufKisantes. La remarque précédente sera d'une application constante.

5. Une notion importante est celle des courbes osculatrices. Supposons que nous ayons une famille de courbes dépendant der paramètres arbitraires :

On peut se proposer de déterminer ces paramètres de façon que la courbe précédente ait, en un point donné d'une courbe donnée, le contact d'ordre le plus élevé possible avec cette dernière. Si n est l'ordre de contact, il faudra satisfaire à n + i équations de conditions; donc, on choisira, dans le cas général, n -f- i = r, pour déterminer tous les paramètres. Le contact est alors de l'ordre/' — i ; la courbe ainsi déterminée est dite osculatrice à la courbe donnée.

En premier lieu, prenons les droites

y — aix — ai=:^ o.

La courbe est donnée par les expressions de x ely en fonction d'un paramètre t. Pour le point de cette courbe correspondant à la valeur t du paramètre, le contact sera du premier ordre si

y — aix — ai= o, dy dx

la droite obtenue est la tangente à la courbe. Le contact, en général, sera du premier ordre; à quelle condition serait-il du second ordre? Il faudra, en plus des équations précédentes, que

348 ArPLICÂTIONS GÉOMÉTRIQUES DU CALCUL INFINITÉSIMAL.

et, par conséquent, on aura

dx

dT

dt

C'est donc seulement pour les points de la courbe, vérifiant la relation précédente, que le contact de la tangente sera du second ordre; ce sont les points d'inflexion.

Considérons, en second lieu, Téquation générale d'un cercle

(ar — a)« -4- (j^ — 6)«— R* = o,

avec les trois paramètres a, 6, R. On pourra les choisir de manière à avoir, en un point arbitrairement donné sur la courbe, un contact du second ordre. On devra avoir

dx , , V rfy

dt

d^x dï^

/dxy /dry

Les deux dernières équations donnent les coordonnées (a, b) du centre du cercle osculateur, et la première fait connaître son rayon .

Le centre du cercle osculateur est situé sur la normale, au point où cette droite touche son enveloppe. Prenons, en eflel, l'équation de la normale

On obtiendra le point où elle louche son enveloppe en joignant à cette équation l'équation dérivée par rapport à f ,

Ces équations sont les mêmes que les précédentes en y faisant X = a, Y = 6, ce qui démontre le théorème.

Si, en particulier, la courbe est donnée sous la forme

on aura, pour les coordonnées a et 6 du centre du cercle osculateur au point x^^

(^0- b) ¥\x^) -+- 1 + [F(:ro)]* = o.

La dernière équation montre que^© — ^ est de signe contraire àF''(xo). Or, si F'(:ro)]>o, la courbe tourne sa concavité vers les y positifs; ^o — b est alors négatif, c'est-à-dire que le point {a^ b) est du même côté que la courbe par rapport à la tangente dans le voisinage du point considéré. La même conclusion subsiste siF"(xo)<o.

Démontrons enfin que le cercle osculateur en un point (^To, j^o) d'une courbe est la position limite (Tua cercle passant par ce point et deux autres points infiniment voisins de la courbe. Soient, en eflfet, /q? ^o -^- A| , ^o + h^ les valeurs de t correspondant à ces trois points; A| et Aa tendront vers zéro d'une manière arbitraire. En posant

on a

équations qui peuvent s'écrire

'X(^o~At) — X(^o) >(^o+ Aï) — X^o)"

Al

T rX(^o~At) — X(^o) X(^o+ AQ — Xap)] __ ^1-A, L h. A, J-""-

Elles deviennent, en développant,

et pour hi = h2= o, on a

Nous retrouvons ainsi les équations qui donnent le cercle osculateur.