Cherchons l'expression du rayon du cercle osculateur. En
35o APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES DU CALCUL INFINITÉSIMAL.
résolvant les deux éqnalions en x — a et y — 6 et portant dans l'expression de R^, on trouve de suite
„.= Hiii
En un point d'inflexion, R est infini; le cercle osculaleur se réduit à la tangente, qui a alors, comme nous Pavons dit, un contact du second ordre avec la courbe.
II. — Courbure des courbes planes. — Développées et développantes.
7. Au cercle osculateur se rattache immédiatement la notion de la courbure d'une courbe plane. Reprenons auparavant les formules précédemment obtenues, en introduisant explicitement les cosinus directeurs de la tangente et de la normale à la courbe.
On a, comme nous l'avons dit,
""--dr P-3F'
a et ^ désignant les cosinus des angles faits par la tangente à la courbe, prise dans le sens des arcs croissants, avec les axes de coordonnées. L'équation de la normale s'écrit alors
et, pour avoir les coordonnées du centre du cercle osculateur, il faut adjoindre l'équation
(X — x)dti-\- ( Y — v) c/? ~- ^5 = o. Or : a^-i- p2-. 1^ (JQnç a rfa -|- ^ rfp = o; nous pouvons, par suite, modifier la première équation, et nous avons alors le système
Faisons la somme des carrés :
Dans les calculs qui vont suivre, R va être considéré comme une quantité essentiellement positive. Introduisons maintenant les cosinus directeurs a! et ^' de la demi-droite MI qui va du point M de la courbe au centre I du cercle osculateur; nous aurons, X, Y désignant toujours les coordonnées du centre I,
en substituant ces valeurs dans les équations (2), il vient
P' d% - a' rf? == o,
a'rfaH-pVp= ^;
d'où
da^ rfp P'
^^ ds ~ H ds ~ h'
Aux deux formules précédentes, il est utile d'en adjoindre deux autres, donnant les difTérentielles de a' et ^'. Les deux équations
a'»H-P'«=i, «a'4-pp'=o
donnent en effet immédiatement
«'=Xp, P'=-Xa (X=dii);
par suite
rfa'__ a rfp; ___ p
ds "" R' ds " K
Remarquons que la quantité désignée par \ sera tantôt égale à H- I, tantôt à — 1 : elle sera égale à -f- 1 quand, MT coïncidant avec Ox, Mf coïncidera avec Oy\ elle sera égale à — i si, dans les mêmes conditions, MI coïncide avec le prolongement de 0\\
8. Les formules fondamentales (3) et (4) obtenues, passons à la définition de la courbure d'une ligne plane. Soient le point M sur la courbe et M' un point infiniment voisin; nous menons les tangentes MT et M'T'; soit s leur angle infiniment petit. Le rapport
arc MM'
est dit la courbure moyenne de l'arc MM', et sa limite est dite la courbure de la courbe en M.
La courbure est l'inverse d'une ligne. On appelle celle-ci le
rayon de courbure p de la courbe au point M. Calculons — » ou, ce
qui reviendra au même au passage à la limite, -r—* Les cosinus
directeurs de la tangente en M' seront a + Aa et ^ -+- A^; donc
sinU (g A^— p Aa)^ A5« ~ A5»
et, par suite,
\ {id^ — ^doLy
Nous transformerons le second membre en employant l'idenlité
(a û?p — p d%y = (a«-i- p«)(c?a« -h c?p*) — ( a û?a -+- p d^y, et, comme ol^ -i- ^^ =^ i ^ il en résulte
p^-\ds) ^\ds) •
En nous reportant à l'expression du rayon du cercle osculateur, nous voyons que le rayon de courbure est égal au rayon du cercle osculateur. Aussi le centre du cercle osculateur en un point est-il appelé le centre de courbure de la courbe en ce point.
9. Les centres de courbure d'une courbe plane forment une courbe remarquable étudiée par Huygens, qui lui a donné le noai àe développée, La développée, d'après ce qui a été vu plus haut^ est aussi l'enveloppe des normales. Une propriété fondamentale de la développée est relative à la longueur de son arc. Soient {xs^y^) les coordonnées du centre de courbure au point M(^, y) de la courbe : on a
x^=x^ Ra', xi =7 -^ Rp»
d'où, en différentiant et tenant compte des formules (4)?
c?^i=a'rfR, c(xi=p'û?R;
donc, en appelant 5| Tare de la développée,
Tant que le rayon R varie dans le même sens, en comptant les arcs dans un sens convenable sur la développée F, on aura
dsi = dR, Ainsi, si, de M en M', R varie dans le même sens,
L'arc ir de la développée est donc rectifîable (Jlg. 19); il est égal à la différence MT — MI. On ne devra pas oublier que le
Fig. 19.
résultat précédent suppose essentiellement que le rayon de courbure varie dans le même sens quand on va de M en M'.
On peut encore traduire la propriété de la développée sous la forme géométrique suivante : Imaginons qu'un fil soit enroulé sur la développée F, à partir d'un point arbitraire A, et s'en détache au point F pour suivre la tangente FM'. On coupe ce fil en M' et on l'enroule sur la courbe F en le maintenant toujours tendu ; son extrémité libre décrira la courbe G.
Réciproquement, la courbe G est dite la développante de la courbe F. Prenant une courbe arbitraire F, si l'on porte sur chaque tangente à cette courbe une longueur IM = /, / étant dé-
finie par la relation
l -\- s = const.,
où s est Tare AI de la courbe comptée à partir d'une origine A arbitraire, le lieu du point M sera une courbe normale aux tangentes de la courbe T.
Une courbe a une infinité de développantes qui correspondent aux diverses valeurs de la constante; ces développantes sont des courbes parallèles.
10. Nous avons trouvé, pour le rayon de courbure, l'expression
him
dyy
en prenant pouF R la valeur absolue du second membre. Nous avons dit que cette expression offre une particularité intéressante pour un point d'inflexion; le dénominateur s'annulant, le rayon de courbure est infini. Le cas où le point considéré de la courbe est un point de rebroussement de première espèce est digne aussi de remarque. Pour un tel point supposé placé à l'origine des coordonnées, avec l'axe des x pour tangente, on a
-j- restera donc fini pour a: = o, mais -^ deviendra infini. On
a donc, en un point de rebroussement de première espèce, R = o. La développée d'une courbe passe donc par ses points de rebroussement de première espèce.
Cherchons, d'une manière générale, la relation entre le rayon de courbure d'une courbe et celui de sa développée au point correspondant. Les angles dont tournent les tangentes à l'une et l'autre courbe étant les mêmes, on a, en désignant par p le rayon de courbure de la développée,
p ds\ en prenant la valeur absolue du second membre ; mais, puisque
dsi = rfR, nous pouvons écrire
^^'^-ds'
en prenant, dans le second membre, la valeur absolue de -^> si
l'on veut avoir p positif. Une conclusion intéressante découle immédiatement de cette formule. Quand le rayon de courbure passe par un maximum ou un minimum, on a
dK ds ~~ et, par suite,
La développée, ayant un rayon de courbure nul, aura donc, en général, un point de rebroussement de première espèce. On peut vérifier cette conclusion sur la développée de Tellipse ; pour les .sommets de l'ellipse, son rayon de courbure passe par un maximum ou un minimum, et dans la développée correspond un point de rebroussement. On vérifiera aussi que Tare de la développée, qui comprend un point de rebroussement, n'est plus égal à la différence des rayons de courbure extrêmes de la courbe initiale, ce qui justifie la restriction sur laquelle nous avons insisté plus haut.
H. Reprenons les formules (3) et (4) du § 7 :
da a Is ~ R'
ds R'
doi' a ds " R'
ds ~ R
On a d'ailleurs
les signes se correspondant.
Ces formules permettent de traiter un problème intéressant. Supposons que l'on se donne l'expression du rayon de courbure R en fonction de l'arc s, et cherchons à déterminer la courbe. On aura
di = -R- (' = ^- ')'
OU, en posant a + ta' = a,
du iu
donc
du .ds
par suite
u = Ce •^ ^ (G désignant une constante)
X* ds — = (j (t sera une fonction déterminée de s),
a -h «' = (A-h iB) (cos<T — (sinv).
Nous obtenons donc
a = Acosj -h B sina, a'= B cos<T — Asinv;
et, puisque a^ 4- a'^ = i , il faudra que A^ + B=* == i .
Telle est la solution générale du problème; pour p et P', on prendra
Prenons pour origine des coordonnées un point de la courbe, pour axe des x la tangente et pour axe des^ la normale : on aura
a = i, a'— o pour s = <j = o]
nous prendrons alors
A = i, B = o, et par suite
a = cos (T. a' = — sin d.
Si, de plus, on veut avoir :
P = o, P' = ' pour 5 = 0,
on devra prendre
p = 8in(T, p'=cosa.
Cherchons enfin les valeurs de x et y. Des relations
dx = OL ds, dy —^ds on conclut
x= I cosa dSf y= I sinffûfi,
formules qui résolvent le problème à l'aide de trois quadratures. Prenons, comme première application, le cas où R est constant : R = Ro ; on aura alors
donc
= g; x=l cos ^ds, ^ == / s»n]g^*;
a? = Rsinô' ^ = — R cos 5- -h R ;
la courbe sera le cercle représenté par l'équation
Opt-^(y-^R)t= RI.
Le cercle est donc ta seule courbe plane dont le'rayon de courbure soit constant, résultat que donnerait immédiatement d'ailleurs le théorème relatif à la développée. Dans celle-ci, en effet, la longueur de l'arc sera nulle et elle se réduira à un point.
Gomme seconde application, soit p- = 2 (X5. Nous aurons G- = 1X5^, et
x= I cos (\t. s* ) ds, y= I sin(iis^) ds.
Ces quadratures ne peuvent être effectuées, mais il est néanmoins facile de construire la courbe en se rappelant que, lorsque s augmente indéfiniment, ces deux intégrales tendent vers une limite (Chap. I, Sect. VI). La courbe se compose de deux branches
Fig. 20.
sjmétriques relativement à l'origine et tournant chacune autour d'un point asymptote, comme le montre idijlg. 20.
Celte courbe joue un rôle intéressant en optique dans la théorie de la diffraction.
12. Nous terminerons ce que nous avons à dire sur la courbure des courbes planes, en donnant une construction géométrique du centre de courbure en un point d'une ellipse {Jig- 21). Menons les normales en M et au point infiniment voisin M'; soit O leur point de rencontre. En posant
FMO=FMO = a et F'M'0 = a', Fig. ai.
et désignant par Ô, F et F' les angles MOM', MFM', M'F'M, on a
F' -h a' = 0 -I- a, d'où
et, en divisant par Ls = arc MM',
Is
Quand M' se rapproche de M, le second membre tend vers ^ ,
R étant le rayon de courbure de Tellipse en M. D'autre part, la considération du triangle FMM' donne de suite
,. F cosa /-FrTT \
THÉORIE DU CONTACT. — COURBURE. SSg
et pareillement on a
lim^ = ^^^ (FM=r'>
Nous avons donc la formule
^ = cosal
ou enfin
ï __ a cos a
a a désignant le grand axe de l'ellipse.
A la place du produit rr'^ introduisons la longueur MN, N étant le point de rencontre de la normale avec le grand axe. On a immédiatement
MN ar'cosa
et, par suite, on obtient la formule
MN
cos* a
ATaide de cette formule, on justifiera aisément la construction suivante du centre de courbure au point M : on élève en N la perpendiculaire à MN, et, au point de rencontre K de cette perpendiculaire avec MF, on élève la perpendiculaire KO au rayon vecteur MF; le point de rencontre O de cette droite KO avec la normale MN est le centre de courbure cherché.
III. — Contaot des courbes gauches. — Contact des courbes et des surfaces.
13. La théorie du contact de deux courbes gauches est entièrement semblable à celle du contact des courbes planes. Soient G et C deux courbes gauches ayant un point commun M; on dira qu'elles ont en M un contact d'ordre n, lorsque à un point A de C infiniment voisin de M, on pourra faire correspondre sur O un point A' infiniment voisin de M tel que la distance AA' soit d'ordre n-l- I relativement à la corde ou à l'arc MA.
36o APPLIGATIOI^S GÉOMÉTRIQUES DU CALCUL INFINITÉSIMAL.
Prenons d'abord d'une manière générale les deux courbes représentées par les équations
(C) x=f{t\ r = ?(0, ^-'MOî
le point commun M correspond à t= Iq, u= Uq. On suppose, comme il est permis, que les trois dérivées f, ^' et ^' ne s'annulent pas simultanément pour/ == ^o; 6t de même pour F'{uo)y
Nous suivons maintenant la même marche que pour les courbes planes; soit encore |
la relation entre u et t qui définira la correspondance entre A et A'. Nous devons déterminer les coefficients X de manière que x' — Xj y — y, z' — z soient infiniment petits d'ordre n H- i par rapport à t — ^0* Nous avons ainsi trois groupes de n équations dont j'écris
le premier
XiF'(ao)~/'(/o) = o,
les deux autres s'obtenant en remplaçant respectivement F et / par ^ et <p, puis par T et A.
Les trois dérivées F'(wo)t ^'("i )» ^'(^o) n'étant pas nulles à la fois, il y aura au moins un de ces groupes qu'on pourra résoudre par rapport àX|,)v2, . . ., X„. Si, par exemple, F'(mo) est différent de zéro, on pourra se servir du premier groupe : la première équation donnera X4, la seconde X2, et ainsi de suite, le coefficient de la nouvelle inconnue à déterminer n'étant jamais nul, puisqu'il est toujours égal àF'(wo).
En substituant les valeurs ainsi trouvées de X|, X^, . . . , \„ dans les deux autres groupes, on aura les un conditions nécessaires et suffisantes pour que les deux courbes aient au point commun M un contact d^ordre n. Le même calcul que plus haut montre que
le rapport vrw a Puni té pour limite.
Dans la pratique, les équations des deux courbes pourront être
données sous une forme plus simple. Supposons, par exemple, que la fonction F coïncide avec la fonction f et que ^o= "o* Les équations des deux courbes sont alors
a^=/(w), :k = *("), ^ = v(w)- On a d'ailleurs
?('o)=*(^o) et 4^(^o)=^(^o).
Le premier groupe d'équations donne alors
Xi = f, X, = X3 =.. .= Xrt = o. Par conséquent
Pour que les différences y — y el z' — z soient d'ordre n -f- i, on voit donc de suite qu'il est nécessaire et suffisant que les fonctions ^(w) et ff{t) aient mêmes dérivées jusqu'à l'ordre n pour u = t= ^oî et de même pour ^(w) et ^{t)*
Supposons, en second lieu, que la courbe C soit définie par les deux équations
Les conditions de contact d'ordre n avec la courbe C,
au point (^o>^o> ^o) correspondant k C:^ Iq^ s'obtiennent par la même règle pratique que nous avons donnée pour les courbes planes : dans F, et F2 on remplace x,y, z par/(/), <p(r) et 4(^)^ les deux fonctions ainsi obtenues
r'i[/(0, ?(0, ^(f^] et Fa[/(0, 9(0, 4'(0]
doivent s^annuler pour t = t^ ainsi que leurs n premières déris^ées.
14. Passons maintenant au contact d'une courbe et d'une surface. Étant données une courbe C et une surface S ayant un point commun M, nous dirons que la courbe et la surface ont en ce
point un contact d^ordre /i, lorsque à un point A de la courbe C infiniment voisin de M on pourra faire correspondre sur la surface un point A' infiniment voisin de M, tel que la distance AA' soit un infiniment petit d'ordre n + i par rapport à MA.
Suivons toujours la même méthode. Soient la courbe C définie parties équations
et la surface par les équations
Soient t= ÙQj u= Uq^ ç= i^Qles valeurs des paramètres donnant le point commun M. On suppose que /'(^o)î î'(^o) et ^'(^o) ne sont pas nuls à la fois et que les trois déterminants fonctionnels {voir Chap. XI, §1)
ne s'annulent pas tous trois pour u = «o, r = Pq-
Pour établir une correspondance entre A et A', nous devons définir u ei ç en fonction de t. Soient donc les développements
Écrivons encore que chacune des différences a/ — x, y' — y et z' — z est un infiniment petit d'ordre n + i par rapport à / — ^o- Or on a
X =F(«o, ^'o)-+- (« — Wo)^-4-^' — t'o)^ -^.--^
et, en remplaçant u — u^e\.v — v^ par leurs développements, nous avons à annuler dans x^ — x les coefficients des n premières puissances de f — /o- Il vient ainsi un premier groupe de n équations
TH£0R1E du contact. — COURBURE. 363
entre les 2 n inconnues X| , . . . , )^/i, [X| , . . . , [X/i,
duo ^ àvo 1.2 \ ^ dul ^ âuoàvo à^l J
On a de la même manière deux autres groupes relatifs ky' — y et à z' — z.
Nous avons donc 3 n équations entre a/i inconnues. Supposons,
par exemple, que le déterminant fonctionnel -^r-^ — r ne s'annule
pas pour u = Uq, r = i^Q, Les deux premiers groupes permettront de déterminer les "k et les [jl; en effet, la première équation du premier groupe et la première du second groupe permettent de déterminer X| et [jL|, les secondes nous donneront X2 et [JI2 et ainsi de suite, sans qu'on soit jamais afrété, puisque le déterminant des équations du premier degré en X/ et [tri {i étant quelconque) qu'on
a à résoudre est toujours ^; ' — r* En portant les valeurs trouvées
dans le troisième groupe, on aura les n conditions nécessaires et suffisantes pour que C e^ S aient au point commun M un contact d^ ordre n ; la solution de la question est donc complète.
15. Les résultats sont particulièrement simples lorsque, la courbe étant définie par les équations
la surface est définie par
le point commun correspondant à des valeurs /o=:£/o=ç»o des paramètres. Les deux premiers groupes donnent dans ce cas
Xj = I, Xi= X3 =T. . .= X,4 = o,
Si on le préfère, on peut vérifier immédiatement que ces valeurs prises a /?rtor/ satisfont à la question; ce seront les seules, puisque les équations en X et jjl n'admettent qu'un système de so-
lutions. On a donc
en portant ces valeurs dans
les termes en ^ — /q jusqu^à la puissance n disparaîtront, si
qui s'annule pour t = t^, a en outre ses n premières dérivées nulles pour cette valeur de t.
Supposons enfin la surface représentée par l'équation
Les conditions de contact s'obtiennent par la même règle pratique que nous avons donnée pour les courbes planes : dans F on remplace ^, j^, z par les fonctions /(^), if(t) et ^(^).
La fonction de t ainsi obtenue s'annule ainsi que ses n premières dérivées pour t = Cq, si la courbe et la surface ont en i^ojyoj Zq) un contact d'ordre n.
16. Faisons quelques applications de cette théorie du contact de deux courbes ou d'une courbe et d'une surface. Pour une courbe gauche donnée et en un point donné de cette courbe, la notion de courbe ou de surface osculatrice appartenant à une famille dépendant d'un certain nombre de paramètres arbitraires ne diffère pas de la notion correspondante pour les courbes planes. On cherchera à déterminer les paramètres arbitraires de manière que l'ordre de contact soit le plus élevé possible : la courbe ou la surface sera dite alors osculatrice.
Prenons l'équation générale d'un plan
Xx -h By -h Cz -h D = o;
il dépend de trois paramètres arbitraires. On pourra donc, en général, déterminer un plan ayant avec une courbe donnée en un point donné un contact du second ordre. En appliquant la règle
du paragraphe précédent, on aura
PrfF ^^-di ^^di =*»• (6) <
le paramètre t ayant la valeur correspondant au point considéré M sur la courbe. Ces deux équations donneront des quantités proportionnelles à A, B, G, et, par conséquent, la direction du plan osculateur qui, passant par M, se trouve ainsi complètement déterminé. Nous avons déjà rencontré ce plan (Chap. XI, § 5), en cherchant à faire passer par chaque point d'une courbe gauche un plan dont la caractéristique soit la tangente. Nous pouvons donc dire que la surface ern^eloppe des plans osculateurs d^une courbe gauche est la développable formée par ses tangentes. Le contact du plan osculateur avec la courbe en un point quelconque est du second ordre. Ce contact peut-il être d'ordre supérieur? Il faudrait pour cela que Ton eût
^d^T ^d^v ^d^z ^^'^^-di^^^-dF^'''
Cette équation, rapprochée des équations (6), donne
dx dy dz <7) d^x d^y d^z = o,
relation qui ne sera vérifiée que pour certaines valeurs du paramètre t. Les valeurs de t satisfaisant à cette équation donnent sur la courbe des points où le contact du plan osculateur est du troisième ordre. Ces points sont analogues aux points d'inflexion des courbes planes ; on les appelle les points ou le plan osculateur est stationnaire.
En général, le plan osculateur à une courbe en un point est traversé par la courbe. En efl^et, désignons par A, B, C les coefficients du plan osculateur tirés des équations (6),
.__dy d^ __ dz d^y di dt^ dt dt^ '
L'on a les expressions analogues pour B et C. Les coordonnées x, ^, z
d'un point quelconque de la courbe sont des fonctions du paramètre; si Ton donne à ^ un accroissement très périt A, on aura, pour des valeurs de h de signes différents, des points qui seront sur la courbe de part et d'autre du point correspondant à la valeur t du paramètre. Ceci posé, soit Téqualion du plan osculateur
A(X— a7)-»-B(Y— ^)-4-G(Z — iî)=o.
Substituons, dans le premier membre de Téqaation de ce plan, aux coordonnées X, Y, Z les coordonnées d'un point de la courbe infiniment voisin du point (:r,y, js), soit :
. , dx h*- d^x h^ d^x
et de même pour Y et Z; le résultat de substitution sera
h^l^d^x ^d^y ^d^z\ -ôy^dï^-^^lît^-^^dt^)-^"-
Si le point n'est pas un point où le plan osculateur soit stationnaire, le coefficient de A' ne sera pas nul et, par conséquent, le signe de ce résultat de substitution sera variable avec le signe de /t, c^ est-à-dire que le plan osculateur traverse la courbe.
Du calcul précédent résulte encore que la dislance au plan osculateur d'un point de la courbe, infiniment voisin du point de contact, est du troisième ordre.
Démontrons, enfin, une dernière propriété du plan osculateur qui pourrait lui servir de définition. Ce plan peut être considéré comme la limite d'un plan passant par un point M d'une courbe gauche et deux points infiniment voisins M' et M" de la courbe, qui tendent vers M d'une manière quelconque. Soit, en effet,
Aa: 4- B^ H- C^ = D = o
l'équation d'un plan. Désignons par X(^) le résultat de la substitution dans le premier membre des coordonnées du point M. Si r -f- A et r + A' désignent les coordonnées de M' et M", les résultats de la substitution des coordonnées des points M' et IW seront X(r + h) et \(^t -h /i'). Nous avons donc les trois équations
Par des combinaisons analogues à celles que nous avons faites pour démontrer une propriété semblable du cercle osculateur (Chap. XII, § 6), on déduit de là, en faisant tendre h et A' vers
zéro,
Les deux dernières relations sont précisément les deux équations
K dx -{- B dy -\- Qi dz — o,
kd'^x-^Bd^y-\- Gc?»2 = o,
qui caractérisent le plan osculateur.
Ainsi le plan osculateur jouit d'une propriété analogue à celle de la tangente d^une courbe plane, qui est la limite d\ine droite passant par un point de la courbe et un point infiniment voisin. De môme que la tangente à une courbe plane rencontre, en général, la courbe en deux points confondus au point de contact, pareillement le plan osculateur, pour un point arbitraire d'une courbe gauche, la rencontre en trois points confondus en ce point. En un point d'inflexion d'une courbe plane, il y a avec la tangente trois points confondus ; de même, en un point où le plan osculateur est stationnaire, il y aura quatre points de rencontre avec le plan osculateur.
17. Pourrait-il arriver que, pour tous les points d'une courbe, le plan osculateur fût stalionnaire? Le déterminant (7) serait alors identiquement nul. Il est aisé de voir que, dans ce cas, la courbe est plane. Laissant de côté le cas où la courbe serait dans un plan parallèle au plan desy^, uous pouvons prendre x comme variable indépendante, et l'identité (7) se réduit à
d^y d^z d*z d^y djc^ dx^ dx^ dx^ ~~
En l'écrivant sous la forme
d^jr d^z
dx^ dx^
dx^ dx^
et en intégrant, on obtient
d'^y çd^z dx^ " dx^'
368 APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES DU CALCUL II<rFINlTÉSIMAL.
d'où l'on conclut, en intégrant encore deux fois,
les C étant des constantes. La courbe est donc plane,
18. Une seconde application de la théorie du contact nous sera fournie par la recherche de la sphère osculatrice. L'équation d'une sphère
renfermant quatre paramètres arbitraires, on peut choisir ces paramètres de façon que la sphère ait un contact du troisième ordre avec une courbe gauche donnée en un point donné. En remplaçant x^y^ z par leur valeur en fonction de ^, nous aurons, pourlepoiut considéré,
et, en posant,
les équations
Ces trois équations déterminent le centre de la sphère osculatrice, et Ton peut définir d'un mot sa position. L'équation [x(f)=o, en y regardant a, 6, c comme des coordonnées courantes, représente, en effet, le plan normal à la courbe au point (a:, j^, ;;); en se déplaçant, le plan normal enveloppe une surface développable, et les trois équations précédentes déterminent le point où la caractéristique du plan normal touche son enveloppe (Chap. XI). Nous avons donc la proposition suivante :
Le centre de la sphère osculatrice est sur la caractéristique du plan normal et au point où cette caractéristique touche son enveloppe.
La caractéristique du plan normal pour un point M d'une courbe gauche est souvent appelée la droite polaire du point M. Cette droite polaire est perpendiculaire au plan osculateur, comme le
THfiORIE DU CONTACT. — COURBURE. 869
montrent les deux équations
(X—x)dx '+-{Y — y)dy -h (Z — z) dz = o,
{\ — x) d'^x -h {Y ^ y) d'^y -^ {Z ^ z) d^z — ds^= o,
qui la définissent, car cette droite est manifestement parallèle à la
droite
et, par suite, normale au plan osculateur.
19. Comme exemple de courbes osculatrices à une courbe gauche, prenons d^abord la droite. Les équations d'une droite
X = az-^p, y = bz -h q
dépendant de quatre paramètres, le contact pourra être seulement du premier ordre. On aura les quatre équations
X = az -hp^ y = bz -h Çj dx ■= a dz^ dy ^= b dz,
qui déterminent les quatre coefficients. La droite ainsi trouvée est évidemment la tangente. Pour que le contact soit du second ordre, il faudrait encore avoir
d^x = ad^z, d^y = b d*z.
Le contact de la tangente avec la courbe sera donc du second ordre seulement pour les points vérifiant les relations
d^x d^y __ d^z dx ~ dy ~~ dz
Si Ton prend pour a:, j^, z trois fonctions arbitraires d'un paramètre ^, il n'y a pas, en général, sur la courbe correspondante, de points où le contact avec la tangente soit du second ordre. Pour un tel point, quand il existe, l'équation du plan osculateur est indéterminée, puisque les trois coefficients désignés par A, B, C sont nuls; tout plan passant par la tangente en ce point rencontre la courbe en trois points confondus au point de contact.
•Comme dernière application, cherchons, enfin, le cercle osculateur à une courbe gauche en un point M de cette courbe. Le plan d'un cercle dépend de trois paramètres et, dans ce plan, le P. - I. a4
cercle est déterminé si l'on donne son centre et son rayon. Ainsi les équations d'un cercJe renferment six paramètres; donc on pourra déterminer un cercle ayant, avec une courbe donnée en un point donné, un contact du second ordre. Le cercle peut être défini comme intersection du plan
(P) Aa:-f. Bj^-hC^-f-D r= o
et d'une sphère
(S) {X — ay -^ {y — by--^ {z — cy-— p5 ^ o.
Cette sphère ne peut être d'ailleurs complètement déterminée ; les deux équations précédentes contiennent un paramètre de trop, car, par un cercle, on peut faire passer une infinité de sphères dépendant d'un paramètre arbitraire.
Appliquons la théorie du contact. Aux deux équations précédentes nous devons adjoindre, d'une part, les deux équations
Xdx -hBdy ~\- C dz — o, A d^x -h Bd^jr -hCd^z^o;
elles montrent que le plan (P) est le plan osculateur à la courbe. D'autre part, en différentiant deux fois l'équation (S), nous obtenons deux équations qui représentent la droite polaire, si l'on y regarde a, b, c comme des coordonnées courantes. Donc le centre de la sphère se trouve sur la droite polaire. Comme, d'au ire part, cette droite est perpendiculaire au plan osculateur, on voit que le cercle osculateur est complètement déterminé comme intersection du plan osculateur avec une sphère quelconque ayant son centre sur la droite polaire et passant en M. On peut encore dire que le cercle osculateur est le cercle du plan osculateur passant en M et ayant pour centre le point où la droite polaire, correspondant à M, rencontre le plan osculateur,
20. Je dirai peu de chose sur le contact de deux surfaces. En nous plaçant toujours, pour commencer, dans les conditions les plus générales, prenons les équations des deux surfaces sous la forme
et
et supposons que ces surfaces aient un point commun A(^oi JKo? ^o) correspondant respectivement à (wo, l'o) ^^ (Uo, Vo). On dira que ces deux surfaces ont au point A un contact d'ordre n, si à tout point M de S, infiniment voisin de A, on peut faire correspondre un point M' sur S' tel que la distance MM' soit infiniment petite d'ordre n -f- i par rapport à AM. Comme il y a ici deux variables indépendantes, il est nécessaire de préciser les conditions dans lesquelles nous prenons les infiniment petits. Les coordonnées du point M s'obtiendront en donnant à Uo et Vq deux accroissements u — Uq et ç — Çq; nous regarderons ces deux accroissements comme des infiniment petits arbitraires, mais de même ordre. La distance AM sera alors de Tordre de i/ — Uo ou r — Po? et nous devons écrire que MM' et, par suite, (x^ — ^), (y — y) et (z' — :;) sont des infiniment petits d'ordre /? + i. La correspondance entre M et M' sera définie par deux relations de la forme
U — Uo = Xi ( W — Mo ) -h fXi ( f — j>o) -H • • . , V — Vo = Xt(M — Wo)-h llt{v — Vo) -^
En substituant dans
ces valeurs de U et V, nous écrirons que les développements de x' — X, y — y^ z' — z commencent par des termes de degré n -t- i en u — Uq et v — Vq, On a ainsi à écrire
équations. Celles-ci renferment des ). et des ix, coefficients des termes en u — Wq et c^ — t^o jusqu'au rang w, qui sont en nombre
On a donc — — i équations de condition pour
qu'en un point A, qui est supposé appartenir à deux surfaces S et S', celles-ci aient en A un contact d'ordre /?.
Prenons le cas très simple et toujours réalisable où les surfaces sont données par les deux équations
les fonctions /, F et ç, ^ coïncidant; de plus Uo= «07 Vo= ^'o- On vérifiera facilement que, dans ce cas, la correspondance entre U et V est donnée par les équations de la forme
U — Uo = M — Mo -♦-••• »
les termes non écrits étant de degrés supérieurs au /i**"** en w — Uq et p — i'o; les conditions de contact s'obtiennent en écrivant que les dérivées partielles des deux fonctions ^ et W^ jusqu'au 71**"* ordre inclusivement, sont égales pour (uq, t'o)«
En particulier, si les deux surfaces sont données par les équations
les deux surfaces auront, au point correspondant à (^O)JKo), un contact d'ordre n, si les fonctions t}^ et V sont égales, ainsi que leurs dérivées partielles jusqu'au rang n, pourj:=a:o, y=:yQ. Le nombre de ces conditions, où se trouve exprimé que la seconde surface passe en {xo^yo^ Zq), est donc supérieur d'une unité au nombre trouvé plus haut; il est, par suite, égal à
Ce nombre donne à la théorie qui nous occupe un caractère propre, et la rend très difi^érente de celle du contact d'une courbe et d'une surface, particulièrement en ce qui concerne les surfaces osculatrices aune surface donnée. Nous renverrons, pour ce point, au Cours d^ Analyse de M. Hermite (p. iSg), où l'on trouvera les particularités curieuses que présentent les surfaces osculatrices du second degré. Je renverrai aussi à un intéressant Mémoire d'Halphen, qui fait suite aux recherches de M. Hermite (*).
(') Sur le contact des surfaces {Bulletin de la Société mathématique, t. III).
THÉORIE DU CONTACT. — COURBURE. 3y^
IV. — Formules de Cayley, relatives aux courbes gauches algébriques^ analogies aux formules de Plûcker. — Courbes dont les tangentes appartiennent à un complexe linéaire.
21. Nous avons appelé rattenlion (§ 16) sur les points d'une courbe gauche où le plan osculateurest stationnaire : ce sont les points où le plan osculateur a, avec la courbe, un contact du troisième ordre. Si l'on se donne une courbe gauche quelconque, en coordonnées ponctuelles, c'est-à-dire si l'on prend, pour les coordonnées X, y^ z, des fonctions arbitraires d'un paramètre t^ la courbe possédera des points de la nature indiquée, car la condition qui leur correspond s'exprime par une équation unique en t. Nous allons nous borner aux courbes gauches algébriques : x^y^z seront alors des fonctions algébriques arbitraires d'un paramètre /. D'autres singularités se présenteront d'une manière normale si, au lieu de se donner la courbe en coordonnées ponctuelles, on se la donne en coordonnées tangentielles, c'est-à-dire si l'on se donne la courbe comme arête de rebroussement de la surface développable enveloppe d'un plan mobile
Kx -t- hy -h C;; -h D = o,
où A, B, C, D sont des fonctions d'un paramètre a. Il va se présenter ici ce qu'on a rencontré dans l'étude des courbes planes, où les points d'inflexion se rencontrent d'une manière normale dans les courbes données arbitrairement par une équation en coordonnées ponctuelles, tandis que ce sont, au contraire, les points de rebroussement qui se présentent d'une manière normale dans les courbes données arbitrairement par une équation en coordonnées tangentielles.
Reprenons le plan mobile dont l'équation est écrite ci-dessus. La courbe sera donnée par les trois équations
A5:-t-By-HC5-hD =0, A'jH-B>-t-C'^ + D' = o, k" X ^Wy -\- Cz -^ly ^ o
qui donnent x^y^ z en fonction du paramètre a. A ces équations
adjoignons la suivante
Pour a arbitraire, il n'y aura pas de valeur de x^ y, z satisfaisant à ces quatre équations. Mais une seule relation en a exprime que ces quatre équations ont une solution commune.
Soit a^j une valeur de a vérifiant cette relation. Le point correspondant est dit un point stationnaire de la courbe. Il ne faut pas confondre les points stationnaires avec les points considérés précédemment où le plan osculateur est stationnaire.
En général, c'est-à-dire si A, B, C, D sont des fonctions quelconques de a, un point stationnaire n'est pas un point simple de la courbe, mais est à considérer comme l'analogue du point de rebroussement de première espèce dans les courbes planes. Pour le démontrer, nous allons faire voir que, pour ce point, on aura,
en général,
dx =^ dy = dz = o,
les quotients -^ ^^ -j- ayant une valeur unique; il en résultera
bien que le point stationnaire pourra être regardé comme un point de rebroussement de la courbe gauche.
Les deux premières équations (8) donnent, quel que soit a,
Kdx -\-^ dy -\-(^ dz = o, k! dx -i- B' d>^ -h C dz = o.
On a, d'autre part, a étant toujours arbitraire,
A' dx -+- B'rfj^ ^- G' dz -h di^k^'x ^- B^ -h 01" z -f- D"') = o;
faisons maintenant a == a», on aura
K'dx ^'&' dy-\- G' dz = o.
Nous avons donc trois équations homogènes en dx^ dy, dz^ dont
le déterminant ne sera pas nul en général pour a = a©, et Ton a
bien, par suite,
dx =M dy =i dz ^ o
pour le point stationnaire ; quant aux rapports de rfx, rfy, dz^ ils sont, en général, déterminés par les deux équations écrites plus haut.
22. 11 résulte de ce qui précède que, si Ton veut introduire, dans l'étude djs courbes gauches algébriques, les singularités qui se rencontrent nécessairement dans une courbe ou dans sa transformée par polaires réciproques, on doit envisager à la fois les points où le plan tangent est stationnaire et les points stationnaires. C'est ce que l'on fait en Géométrie plane dans les formules de Pliicker; M. Cayley a donné pour les courbes gauches algébriques des formules très intéressantes qui sont les analogues de celles de Pliicker : nous allons les établir (*).
Introduisons d'abord certains nombres entiers qui vont jouer un rôle essentiel. Les tangentes à la courbe gauche C forment une surface développable dont nous désignerons le degré par r. Représentons ensuite par n le nombre des plans osculateurs que l'on peut mener à la courbe par un point arbitraire de l'espace. On appelle r le rang et n la classe de la courbe gauche. Nous désignerons par a le nombre des points où le plan osculateur est stationnaire et par ^ le nombre des points stationnaires.
Nous avons encore quatre nombres à définir. Le plus important est le nombre des sécantes doubles de la courbe qui passent par un point arbitraire de l'espace; désignons-le par A. Il représente le nombre des points doubles apparents de la courbe, c'est-à-dire le nombre des points doubles de la perspective de la courbe quand on la projette coniquement d'uu point de vue arbitraire sur un plan quelconque.
Prenons ensuite un plan arbitraire; il y aura dans ce plan un certain nombre de droites par lesquelles on pourra mener deux plans osculateurs à la courbe gauche; leur nombre est g.
Un plan arbitraire peut contenir un certain nombre x de points qui soient à la rencontre de deux tangentes à la courbe gauche.
Enfin, par un point arbitraire on peut mener un certain nombre de plans tangents en deux points à la courbe : y représentera leur nombre.
