Commençons par rappeler les formules de Pliicker rela
( ' ) A. Caylet, Mémoire sur les courbes à double courbure et les sur/aces développables {Journal de Liouville, t. X; i845). — Voir aussi Salmon, Géométrie à trois dimensions.
tives aux courbes planes. En représentant par [x Tordre d'une courbe, par v sa classe, par S le nombre de ses points doubles, X de ses points de rebroussement, t de ses tangentes doubles, /de ses points d'inflexion, on a les deux équations
v= fi(|jL— i) — 28 — 3x, i = 3fx(fz — 2) — 60 — 8x,
auxquelles il faut joindre les deux suivantes
Ces formules se réduisent d'ailleurs à trois, car les deux premières et les deux dernières conduisent à la même relation
24. Ceci posé, considérons la surface développable, formée par les tangentes à la courbe C, et son intersection avec un plan quelconque P. Cette intersection F est une courbe d'ordre r; sa classe est évidemment égale à /z. Un point double de F correspond à deux tangentes de C se coupant sur le plan P*, F aura donc x points doubtes.
D'autre part, le nombre des tangentes doubles de cette courbe est égal à^, puisqu'une tangente double doit provenir de l'intersection de deux plans osculateurs de la courbe située dans P. Enfin la courbe F possède m points de rebroussement qui sont les intersections de C avec le plan P, et elle a a points d'inflexion.
Nous aurons donc
/i = r(r— 1) — 207 — 3m, r= n{n — i) — ig — Z'x,
et ces équations se réduisent à trois relations distinctes.
Un autre système d'équations est fourni parla considération du cône ayant pour sommet un point arbitraire et passant par la courbe. Considérons une section plane quelconqueSde ce cône. Son degré sera égal à m ; sa classe sera égale au nombre des plans tangents qu'on peut mener à la courbe C par une droite arbitraire, et sera par conséquent égal au nombre des tangentes de C rencontrant cette droite, c'est-à-dire r. Les points doubles de S corres-
pondront aux droites doubles du cône, et par suite aux sécantes doubles de C ; leur nombre est h. Le nombre des tangentes doubles sera y, d'après la définition même àey. Les points de rebroussement de S proviendront des points stationnaires : leur nombre sera ^. Enfin les points d'inflexion correspondent aux n plans osculateurs menés par le sommet à la courbe C. On a par suite les formules
r— m(m — i) — ih — 3^, m= r(r — i) — 2j^ — 3/i, n = 3/w(/n — 2) — 6A — 8p, p = 3r(r — 2) — 6^ — 8/1,
et nous avons là seulement trois relations distinctes.
En résumé, nous avons six relations entre les neuf quantités
'', ^, n, gy h, a, p, X, y.
Six d'entre elles peuvent être déterminées en fonction des trois autres (*).
25. Cherchons ce que nous donneront les formules précédentes pour les courbes gauches du troisième et du quatrième degré.
On sait qu'on appelle cubique gauche l'intersection incomplète de deux surfaces S et S' du second degré ayant une génératrice commune D.
Soit A un point quelconque de l'espace ; considérons la surface du second degré, représentée par l'équation
S -h XS'= o,
passant en A. En ce point on peut mener sur la surface deux génératrices reclilignes; la génératrice de même système que D rencontrera la cubique en deux points.
Ce sera donc une sécante double de la cubique, passant par A, et ce sera évidemment la seule, car toute autre sécante double ayant trois points communs avec la surface S + XS'= o doit coïncider avec la génératrice considérée. On aura donc A = i .
D'autre part a est nécessairement nul, car un planosculateurne peut rencontrer la cubique gauche en quatre points.
(*) M. Zeuthen, dans uq Mémoire inséré dans les Annali di Mat., a* série, t. m, a examiné le cas où la courbe aurait des singularités jjIus compliquées.
Ayant
nous pouvons trouver les six autres nombres. On obtient ainsi r = 4, p = x=/ = o, 71 = 3, g = i-
La solution [3 = 0 était évidente a priori^ une cubique ne pouvant avoir de point stationnaire. La développable formée par les tangentes à une cubique gauche est du quatrième degré (r= 4)» et enfin par un point quelconque de Tespace on peut mener trois plans osculaleurs à une cubique gauche {n = 3).
Au sujet des plans osculateurs menés par un point A, Chasles a établi une proposition élégante, dont la démonstration se rattache d'ailleurs aux considérations précédentes. En prenant le point A comme point de vue, projetons la cubique gauche sur un plan quelconque. Cette perspective sera une courbe du troisième degré avec un point double ; les projections des points de contact et des plans osculateurs menés de A à la cubique seront les points d'inflexion de cette courbe plane. Or celle-ci, ayant un point double, a trois points d'inflexion situés en ligne droite. Nous voyons donc que les trois points de contact des plans osculateurs menés d'un point arbitraire A à une cubique gauche sont dans un plan passant par le point A.
Examinons main tenant les courbes gauches du^{/a^/7é/?iec/e^/'é. Une première catégorie de ces courbes est obtenue par Tintersection de deux surfaces du second degré. Le nombre des points doubles apparents est, pour une telle courbe C, égal à deux^ car on voit de suite que d'un point arbitraire de l'espace on peut mener deux sécantes doubles à C; on a donc
On a, par suite, d'après les formules de Cayley, r ~ ^, 71 — 12, a = 16.
Il est facile de chercher directement ces nombres; faisons le calcul pour r. Soient
les deux quadriques définissant G. Cherchons les tangentes
à cette coirrbe, qui rencontrent la droite
AX ^-BY 4-GZ-+-D =0, A'X4-B'Y-+-G'Z4-D'=o.
Le point de contact {x^y^ z) sera donné par Téquation
Celte dernière équation représente une surface du second degré; elle a huit points de rencontre avec C. Donc /• = 8.
Toutes les courbes gauches du quatrième ordre ne rentrent pas dans la famille précédente. Soît C une courbe gauche arbitraire du quatrième ordre (sans points multiples). Par cette courbe on peut évidemment faire passer une quadrique S2 et une surface du troisième degré S3. L'intersection de ces deux surfaces se complète par une courbe du second degré F. Si C n'est pas l'intersection de deux quadriques, je dis que F n'est pas une courbe plane. Nous pouvons, en effet, supposer que celle-ci serait dans le plan 5= o, et aurait pour équations 5 = 0, /2(<2:,^')= o. Les surfaces S3 et S2 auraient alors pour équations
{ax-\- bx -h c)fi(Xyjr) -+- 5F,(a?,7, z) = o,
d'où l'on déduit
{ax-^by-{- c)(Aa:4-B^-h Gz-^ D)— Fi(a:,^, z) = 0,
ce qui donnerait une seconde quadrique passant par C.
La courbe F se compose donc de deux droites ne se rencontrant pas. Il en résulte immédiatement que C est une courbe unicursale, car une génératrice de la surface Sj, de système autre que celui des deux droites, ne rencontre ta surface du troisième degré Sj qu'en un point de C.
La courbe gauche du quatrième ordre C est donc unicursale ; elle est d'une famille différente de celle que nous avons étudiée plus haul. Elle a manifestement trois points doubles apparents, et Ton a maintenant
on en déduit
Les courbes précédentes existent bien effectivement; il suffit de prendre
P, P* Ps
les P étant des poljnomes du quatrième degré d'un paramètre t,
