Nous avons considéré (Chap. XI, § 20) les courbes dont
les tangentes appartiennent à un complexe linéaire. En désignant
par
AL ^- BM -h CN -h DX -4- EY + FZ = o
l'équation du complexe, les courbes dont les tangentes appartiennent au complexe doivent vérifier la relation
^ k{y dz — s dy) -\-B{zdx — X dz)
\ -h C(x dy-ydx) + ïidx^Edy-^¥dz = o.
Leurs plans oscukteurs possèdent une propriété remarquable. M. Appell a en effet montré que le plan osculateur en chaque point d'une telle courbe est le plan correspondant au point dans le complexe (*). Ce théorème peut s'établir de la manière suivante :
Le plan correspondant au point {x^y, z) dans le complexe est
(X — a7)v B^ ~ Cj -4- D ) -f. ( Y — >^)(C j- — A^ -h E)
-4-(Z — ;î)(Aj— B^H-F) = o.
Ce plan coïncidera avec le plan osculateur si l'on a les relations
B-^Cv-hD Car— A 3-4- E A^ -B.r-4-F
dy d^z — dz d^y ~ dz d^x — dx d-z "" dx d^v — dy d^x
(») P. Appell, Sur les cubiques gauches et le mouvement hélicoïdal d'un corps solide {Annales deVÉcole Normale supérieure, 1876).
(lo)
Or, en difTérentiant Téquation (a), on a
\ -hC{xd^y'-yd*x)-^Dd^x-hEd^y-hF d^z — o.
Mais ces équations (a) et (P) peuvent s'écrire dx {Bz--Cy-\-l>)^dy {Cx — kz-^E)-^ dz (Aj — Bar -j- F) = o,
d'où résultent de suite les équations cherchées.
De ce théorème on peut déduire une propriété des plans osculateurs menés par un point aux courbes dont les tangentes appartiennent à un complexe linéaire. Soient C une telle courbe et A un point quelconque de l'espace. Je considère un plan ôsculateur de la courbe passant en Â; M étant le point de contact de ce plan, la droite MA appartiendra au complexe, puisque M est le foyer du plan ôsculateur. Cette droite sera donc dans le plan correspondant au point A dans le complexe. Par suite les points de contact M des plans osculateurs menés par A à la courbe sont dans un même plan passant par A. Réciproquement, d'ailleurs, si M désigne un point de rencontre du plan polaire de A avec la courbe G, le plan polaire du point M passe par MA,[qui appartient alors au complexe ; il est d'autre part le plan ôsculateur à C en M; par conséquent, le plan ôsculateur en ce point passe par A. Ainsi par le point A on peut mener à la courbe autant de plans osculateurs qu'il y a de points de rencontre, avec la courbe, du plan polaire de A dans le complexe. En particulier, si la courbe gauche est algébrique, son ordre sera égal à sa classe, et tous les points de contact des plans osculateurs passant par A seront dans un plan contenant ce point. Le théorème de Chasles relatif aux cubiques gauches (§ 23) est un cas particulier de cette proposition générale ; nous avons vu en effet (Chap. XI, § 20) que les tangentes d'une cubique gauche appartiennent à un complexe linéaire.
27. Cherchons, sur une courbe gauche dont les tangentes appartiennent à un complexe linéaire, les points où le plan ôsculateur
est stationnaire. Il faut calculer le déterminant
dx dy dz d^x d^y d*z d^x d^y d^z
A cet effet, joignons aux équations (lo) Téquation obtenue en différentiant la seconde de ces équations ; ce sera
