II

d^x{Bz Cj^ -h D) -T- d^y{Cx — A ;

-^ û?» z{Ky — B.r-h F) = Aa -f- B3 H- Cy, en posant

a = d'^y dz — d^z dy, ^ = d^zdx — d^x dz, 7 = d^xdy — d*y dx. Les équations (10) et Téquation (1 1) donnent

b.-c^h-d=-<Ai±bHiÇyL«,

En multipliant ces équations par A, B, C et ajoutant, nous avons

(AD4-BEH-CF)a= — (Aa -hBPh-Gy)*.

La constante AD + BE -4- CF n'étant pas nulle (Chap. XI, § 19), on voit qu'alors Téquation 0 r== o se met sous la forme d'une équation dont le premier membre est un carré parfait

[X(d^ydz — dizdy)-h B(d*z dx — d^xdz)

-+- C{dix dy — dx d^y)Y = o.

Il est facile d'aller plus loin. On a en effet (§ 26)

dyd^z —dz d'^y r=\{^z— C.y -+-D), dzd'^x — dx d^z = \{0x — kz H- E ), dx d^y - dyd^x = l(Xy - Ba; -+- F j ;

et, par suite, en substituant dans Téquation précédente, ). = o pour les points où le plan osculateur est stationnaire. On aura donc pour ces points

d^x __ d\r ^ d^z dx '^ dy ~^ dz

Ainsi, dans les courbes que nous venons d'étudier, les points où le plan osculateur est stationnaire sont en même temps des points où la tangente a avec la courbe un contact du second ordre.

28. Nous allons considérer, pour terminer, les courbes unicursales les plus générales dont les tangentes appartiennent à un complexe linéaire. On suppose que l'axe des z soit l'axe du complexe; l'équation (a) à laquelle satisfont x^y, z se réduit à

X dy — y dx = k dz.

Les axes étant ainsi choisis, soient

les équations de la courbe, P, Q, R, S désignant des polynômes de degré m en a. On a