PQ'-P'Q

^ dy —y d^ = ^^ — ^ d%.

Si R = (a — a, )(a ~ aj). . .(a — a^), en décomposant la fraction rationnelle en fractions simples, nous avons

PQ^~P'Q K K, ^ L Fm

R2 ■" (a — ai)î "^ (a — a,) *■' (a — a,„;2 ' ^^a — a,,,/

Les coefficients K,, . . ., L| doivent être nuls, pour que z soit fonction rationnelle de a. Or on peut écrire cette identité de la manière suivante

En diflTérentiant, et faisant ensuite a = a,, il ne restera dans le second membre que K|.

On trouve ainsi, puisque K| doit être nul,

(PQ» P'Q)R'-|-(P'Q— PQ')R"= o, pour a = «j.

De même, cette relation doit être vérifiée pour a = aj, . . ., ol^- D'autre pari, les points d'inflexion de la courbe unicursale représentée par les équations

sont donnés par l'équation de degré 3(w — 2) :

R(P'Q'- p'Q') ^ R'(P'Q PQ') + R'(PQ'~ P'Q) = o.

D'après ce qui précède, cette équation admet pour racines tti, a2, . . ., a„j. Par conséquent, la projection de la courbe sur le plan de xy a m points d'inflexion à l'infini.

Nous avons dit plus haut qu'une courbe dont les tangentes appartiennent à un complexe linéaire possède un certain nombre de points où le contact de la tangente avec la courbe est du second ordre. Cherchons ces points : des relations

X dy — y dx =kds, X d^y —yd^x^-kd'^Zy on conclut

dxd-z — dz d*x dy d^x — dx d^y dz d^y — d^z dy

donc l'équation

dx d'^y — dy d^x = o entraînera

dx d^z — dz d^x — o, dz d^y — d^z dy — o,

le point (x,^, z) étant à distance finie. Les points d'inflexion à distance finie de la courbe plane

seront donc les projections des points cherchés de la courbe gauche. Or une courbe unicursale d'ordre m possède 3(/n — 2)

points d'inflexion; nous devons retrancher de ce nombre les m points d'inflexion à Finfini, et nous avons le théorème suivant (*) :

La courbe gauche unicursale d'' ordre m, la plus générale ^ dont les tangentes appartiennent à un complexe linéaire possède 2 (m — 3) points où la tangente a avec elle un contact du second ordre.

(') E. Picard, Application de la théorie des complexes linéaires à V étude des surfaces et des courbes gauches {Annales de V École Normale, 1877).