CHAPITRE XIII
I. — Courbure et torsion des courbes gauches. Centre de courbure.
1. ConsidéroDS une courbe gauche sur laquelle est fixé un sens pour les arcs croissants et menons dans ce sens les tangentes en deux points voisins M et M'. L'angle £ de ces deux directions s'appelle la courbure de Varc MM'; le rapport ~ représente la courbure moyenne de cet arc, et la limite de rapport, quand M' tend vers M, la courbure de la courbe au point M. L'inverse de ce rapport, qui est une ligne, est dit le rayon de courbure de la courbe au point M.
Nous allons chercher l'expression du rajon de courbure. Au
lieu de la limite de — » nous pouvons considérer évidemment la
limite de -r— • Les cosinus directeurs des deux tangentes étant respectivement a, p, y et a + Aa, j3 + A|3, y -i- Ay, nous avons
sin»E = (aAp — p Aa)î-f. ( p Ay — Y A^)'--}- (- Aa ~ a Ay)'-
Divisons les deux membres par A5- et faisons tendre le point M' vers le point M; il vient
flfa2-i-rf32-h£/Y* ^^ '
en désignant par R le rayon de courbure. Dans toute cette théorie des courbes gauches, la ligne R représentera une grandeur essentiellement positive.
11 est utile de donner l'expression de R en fonction de x^y^ z. En posant
X = efyd^z — dzd^yy B = dzd^x — dxd*z, G = dxd^y — dyd^Xy on déduit des équations a= -z-y P=-7^'Y^=3-lcs relations
^{dn-
— oid-^ =
B ds^'
ar/8-
-|3rfa =
ds^'
ds^
On aura donc
Remarquons que, si l'on prend l'arc s comme variable indépendante, le rayon de courbure est donné par la formule très simple
I [d'-xy (d^yy /^--■\*
Rî
qui résulte immédiatement de la première expression trouvée Ri'
pour
2. Nous avons déjà vu (Chap. XII, § 18) que la caractéristique du plan normal était perpendiculaire au plan osculateur. Cette droite a été appelée la droite polaire, qui correspond au point M considéré sur la courbe. On désigne sous le nom de normale principale la normale à la courbe située dans le plan osculateur. La normale principale et la droite polaire sont perpendiculaires l'une à l'autre ; en désignant par O leur point de rencontre, qu est le centre du cercle osculateur à la courbe, cherchons la distance MO. L'équation du plan normal au point M(x,y, i;) étant
il faut, pour avoir sa caractéristique, adjoindre à cette équation la suivante
(Q) (^\—x)dii-^{\—y)d'^^{Z--z)d-l~ds--^o,
Les deux plans (P) et (Q) sont perpendiculaires Tun à Tautre, puisque arfa 4- ^rfjî H- yt/y = o. Pour évaluer la distance MO, il suffira donc de calculer la distance du point M au plan (Q). On a
donc
— -^ ds^
