MO

doL^-^d'p-hd-^^

Il en résulte que la distance MO est égale au rayon de courbure R. Nous pouvons donc dire que le rayon de courbure est égal au rayon du cercle osculateur. Le point O, centre du cercle osculateur, est dit le centre de courbure de la courbe en M.

Désignons par a', P', y' les cosinus directeurs de la direction MO, allant du point M au centre de courbure : ce seront les cosinus directeurs d'une direction déterminée sur la normale principale. Le plan Q étant perpendiculaire au plan P est perpendiculaire à la normale principale, et l'on a, par suite,

D'autre part, les coordonnées du point O étant 5; 4- Ra', ^ -h R P', z -hRy, et ce point étant dans le plan Q, on a

R(a'rfa -t- P'c/? -\- y'c/y) = ds.

ds La valeur commune des rapports précédents est donc ^> puisque

7/2 -t- p'^ -f- y'2 - , ^ Nous obtenons ainsi les formules très importantes

ds ~ R' ds ~ R' ds ~ R'

3. Un plan quelconque passant par la tangente en M, sauf le plan osculateur, laisse la courbe du même côté dans le voisinage de ce point. Il est intéressant de remarquer que la direction MO sera, par rapport à ce plan, du même côté que la courbe. Il suffira de le vérifier dans un cas particulier. Prenons, par exemple, le plan

perpendiculaire à la normale principale. En substituant les coordonnées du point O dans le premier membre de l'équation de ce plan, le résultat de la substitution, R, est positif. D'autre part, en prenant l'arc s comme variable indépendante, les coordonnées X, Y, Z d'un point de la courbe voisin de M sont données par les développements

as 1.2 as^

et les formules analogues pour Y et Z. En substituant dans le premier membre de l'équation du plan précédent, on a de suite, en

remplaçant a' par R-t-;^? et pareillement pour ^' et v',

Le résultat de la substitution est donc aussi positif, ce qui justifie la remarque que nous avons énoncée.

4. Après avoir considéré l'angle des tangentes en deux points voisins, il est naturel d'étudier Tangle de deux plans osculateurs; on arrive ainsi à la notion de seconde courbure ou torsion.

Menons les plans osculateurs en deux points M et M' d'une courbe gauche, et les normales à ces plans. Ces normales font un

angles; le rapport— est la torsion moyenne de l'arc MM'= A5,

et la torsion au point M est la limite de ce rapport quand M' tend vers M.

Pour évaluer cette limite, nous désignerons par ol", ^'\ y" les cosinus directeurs de Tune des deux directions sur la normale au plan osculateur. Le calcul à faire est identique à celui qui nous a donné, pour le ravon de courbure, la formule

Désignons par 7f la limite cherchée; on appellera Tle rayon de torsion au point M. Il vient

Sqo applications géométriques du calcul infinitésimal.

Si l'on veut avoir T en fonction des coordonnées du point M, il vaut mieux partir des deux normales au plan osculateur

A -I- AA B -+- AB (J ^- AG Soit e l'angle infiniment petit de ces deux droites; on a

. j ( A AB — B AA)»H- (B AC — C AB)«-+- (CAA — A AG)» ^*" ^^ (A2-hB«H-G»)[(A-+-AA)»-h(BH-AB)«-f-(C-4-AG)*J

et, par suite,

1 (XdB-B dXy--^{BdC - C dh-s^-^-iCdk — A dC)\ T« ~~ . û?5«(A*-f-B2-hG*)*

Or A, B, G vérifient les deux équations

A dx -\- hdy -{-Cdz = o, Xd^x^B d^y ^Cd^z^o.

On peut substituer à la seconde de ces deux équations la suivante

dX dx -^dBdy-^ dQ dz = o\

on en conclut

dx ^y ^^

~B71C — c dB ~ C ^A — A dC ~ XdB — BdX' Soit .; la valeur commune de ces rapports; nous aurons

Pour calculer 8, prenons, par exemple, l'égalité ldz=-~- XdB~ Bd\.

En remplaçant A et B par dyd^z —dzd'^y et dzd^x — dx d^ z^

on a de suite

j dx dy dz

Nous avons donc l'expression de la torsion = donnée par la formule (1).

Dans une courbe plane, la torsion est nulle en chaque point, et

inversement, si »; = o, il faudra que 8 =: o, c'est-à-dire que la courbe sera plane.

II. >- Formules de Frenet. — Quelques applications. 5. Nous avons trouvé précédemment les formules

ds ~ h' ds ■" R' ds - R'

A ce système de formules, nous allons en adjoindre deux autres qui sont fondamentaux dans la théorie des courbes gauches. Des formules précédentes il résulte que

dt d^ d^

Or considérons la courbe gauche F à laquelle restent tangentes les droites polaires, c'est-à-dire l'arrête de rebroussement de la développable enveloppe des plans normaux. Le plan osculateur à la courbe F est le plan normal de la courbe initiale; on peut donc prendre comme cosinus directeurs de la normale au plan osculateur de F les cosinus a, p, y; d'ailleurs, la droite polaire étant la tangente de F, en appliquant à cette courbe les relations (2), nous

avons

d^ d^ dr{^

Or, en se reportant à la formule

I dyT^-^d^'^'-^-df^ t» ~ ds^ '

on voit que la valeur commune de ces rapports est di tît- Mais T

est une longueur qui n'a été définie jusqu'ici que par son carré; donnons-lui un signe tel que l'on doive prendre le signe yo/wi dans

392 APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES Dt' CALCUL INFINITÉSIMAL.

'expression précédente. On pourra alors écrire

da.' a'

rf?' P'

df' i

ds ~ t'

us - T'

ds " 1

Quand on aura sur la normale au plan osculateur, souvent appelée la binormale^ choisi une direction déterminée, le signe de T s'ensuivra. Ainsi, tandis que le rayon de courbure R dans nos formules est une quantité essentiellement positive, le rayon de torsion ï a un signe variable : ce signe varie avec la direction que Ton veut considérer sur la binormale. Pour bien fixer les idées, il est simple de convenir que l'on prend, sur la binormale, la direction MB, telle que le trièdre (MTNB), MT désignant la tangente et MN la normale principale (sur ces deux droites, nous avons des directions parfaitement déterminées), soit de même sens de rotalion que le trièdre des coordonnées, ce qui revient à dire que le déterminant des cosinus directeurs est positif :

6. A.U second système de formules, que nous venons de trouver, adjoignons-en un troisième. Je partirai, à cet effet, de la relation

d'où l'on conclut

, dt' doi „ d-x' ds ds ds '

mais nous avons vu que

c?a a' dz' 7!

ds ~ R' ds ~ T'

On a donc

da' a ol" ^ "^ ^ ÏÏ ~ f

et nous obtenons, par suite, les formules

da' a a' d^' p p' ds ~ R t' ds ^ H""¥'

dY ds ■

auxquelles nous voulions parvenir.

COURBURE ET TORSION DBS COURBES GAUCHES. SgS

En résumé, nous avons le système des neuf formules dues à Frenety et qui sont fort importantes dans la théorie des courbes gauches. Elles permettent d'exprimer les différentielles des neuf cosinus en fonction des cosinus eux-mêmes, de la courbure et de la torsion. J'écris de nouveau la première formule de chaque

groupe

d(x. a' (il! 2t a" dT." a'

ds" K' "Ss^ ~" "" R "" T ' 177 T '

les autres s'en déduisant en remplaçant les a respectivement par les p et les y.

7. Faisons de ces formules quelques applications. Cherchons d'abord une expression du rayon de la sphère osculalrice au point M. Il faut, pour avoir les coordonnées du centre X, Y, Z du centre de la sphère osculatrice, adjoindre à l'équation

(X-:r)aH-(Y-^)?-f-(Z-;:)Y-o

les résultats obtenus en la différentiant deux fois. Une première différentiation donne, en faisant usage des formules de Frenet,

et, en différentiant une seconde fois.

Nous aurons de suite le rajon p de la sphère osculatrice, en faisant la somme des carrés de ces trois équations,

Arrélons-nous un moment sur un cas particulier intéressant. Supposons que la courbe proposée ait son rayon de courbure R constant. On a, dans ce cas,

Le centre de la sphère osculatrice est alors au centre de courbure O de la courbe. Le lieu de ce point est une courbe F tangente en chaque point à la droite polaire. Le plan osculaleur en O à r sera le plan normal à la courbe proposée en M; d'autre part,

le plan normal en O à F sera le plan osculaleur à G en M. Il en résulte que la droite polaire correspondant au point O de la courbe F sera la tangente en M à G. 11 y a donc réciprocilé entre les courbes G et F : elles ont même rajon de courbure aux points correspondants, et la tangente de Tune est la droite polaire de l'autre.

8. Comme seconde application, demandons-nous, avec M. Bertrand, si les normales principales d^ une courbe C peuvent être les normales principales d^une autre courbe.Soienl M un point quelconque de G etMN la normale principale en ce point. SoitMi un point situe sur MN : le lieu des points M| forme une courbe Gf . Peut-on choisir MM^ = a, de telle sorte que MN soit la normale principale de la courbe C| ? Les coordonnées (^i, yi, Zt) de M|

sont

a:, = a7Vrta', JKi ^ J' -r- a3', .3, -= ^ -h ay';

a sera nécessairement constant, car on devra avoir

a' djTi -'r- ^' dyx -+- y' rfs , — o, qui conduit à

da — o.

Nous aurons

dxx -'■ dx -\- a dx ^ \oL II — ^] - ^ *' ^^^'

En désignant donc par a,, fi|,Yi les cosinus directeurs de la tangente en M| à la courbe Gf , on doit avoir

X étant un facteur de proportionnalité.

D'après rhjpothèsefai te, rfai, rfp,, rfyi, qui sontproporlionnels aux cosinus directeurs de la normale principale de G|, doivent être proportionnels à a', P', y', c'est-à-dire que l'on a

dxi = |ia', rfPi -^ jx^', d^i = iif.

COURBURE ET TORSION DES COURBES GAUCHES. SgS

En remplaçant a,, pi, yi par leurs valeurs, il vient

et deux autres équations analogues, où les a sont remplacés par les p et les y. Nous avons donc trois équations de la forme

La -f- Ma'-L- Na"— o,

ce qui entraîne nécessairement L=M^N = o; par suite, en laissant de côté Téquation contenant a,

Donc

d\ ^^(ïï) ^(7)

' K T et, en intégrant,

(4) — log(^i— ^j Hlog^ ^logC ^o,

C étant une constante. On a enGn

Il y a par suite une relation linéaire entre 0 et w, > c^ esi-à-dire entre la courbure et la torsion. Réciproquement, si cette relation est vérifiée, en portant sur chaque normale principale une longueur a, on aura une courbe ayant mêmes normales principales que la proposée. On peut, en effet, trouver alors des valeurs de A et de [X satisfaisant aux trois équations

et, par conséquent, rfa^,^^,, d-^^ sont proportionnels à a', p', y', ce qui montre que les deux courbes ont mêmes normales principales.

La valeur de \ est complètement déterminée par la condition

Les équations (3) donnent alors

Cherchons l'angle V des deux tangentes aux courbes C et C| ; son cosinus sera donné parla formule

cosV..a.^??.-.,,. = ^(.-ï)-^=^-

L'angle V est donc constant. On peut encore dire que les plans osculateurs aux deux courbes aux points correspondants font un angle constant.

Dans le calcul général qui précède, on a supposé que Ton n'avait

constamment ni a = R, ni = = o. Le second cas donnant une

courbe plane est sans intérêt; il n'en est pas de même du premier. Les courbes, dont le rayon de courbure est constant, satisfont à la question proposée : c'est ce que montre le calcul précédent, puisque les trois équations en X et [x se réduisent à deux. Nous avons considéré ces courbes (§7); elles rentrent dans le cas général pour

C =1= o : l'angle V est alors égal à '*•

III. — Développées des courbes gauches. — Hélices. Courbes sphériques.

9. Pour étendre aux courbes gauches la théorie des développées, proposons-nous de chercher si Ton peut grouper les normales d'une courbe gauche de manière qu'elles soient tangentes à une même courbe.

Soit M un point quelconque d'une courbe C; nous désignons par MN la normale principale, et parMN' une normale engendrant

une surface développable. Soit I le point où cette dernière droite touche son enveloppe. Désignons par a et b les coordonnées du point I dans le plan normal, rapportées à la normale principale et à la binormale. Les coordonnées de M étant x^y, z et celles de I

'^if^ii ^«» 0° aura

Xi — X -h aoi' -h- 6a",

Zi ~ z -+- aY -^ à^'

Ecrivons que dXi^ dy^^ dz^ sont proportionnels aux différences •^1 — ^1 y\ — y-i ^\ — ^ • on exprimera ainsi que la courbe lieu du point I est tangente à MI. 11 vient

% ds -\- a! da -^- 7." db -i- a {— — — = ) ds -\^ b ol' — — X(aa'4- ba")

OU, en ordonnant,

a dsy i — 1» I -r a' ida ■■- -^ —alj-r- oc'^db — ^,- —bX) — o

et deux équations analogues en remplaçant les a par les ^ et les v. De ces trois équations on conclut nécessairement que les coefficients de a, a', ct!^ sont nuls. On a donc

La première équation a = R montre que le point l est situé sur la droite polaire. En éliminant X entre les deux dernières équations, nous avons

h da — a db -^ {a^-^- b^) ,^~ — o,

que l'on peut écrire

a db - - b d(i ds «î^ -~b^~ ^ T'

Soit

bds

-al

a ds

rds

3g8 APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES DU CALCUL INFIMTÉSIMAL.

T étant une fonction du paramètre dont dépend la position du point M sur la courbe; l'équatiou précédente donne, en intégrant,

b = a tang(T -h C),

C élant une constante arbitraire. En prenant donc

xi = 07 -i- Ra'-+- Ra' tang(T -H G)

et les deux équations analogues, on obtient une développée de la courbe gauche, c'est-à-dire une courbe dont les tangentes sont normales à la courbe gauche. li y a une infinité de développées, puisqu'il figure dans la formule une constante arbitraire C. Toutes ces développées sont situées sur la surface polaire.

Il est aisé de voir qu'un arc de développée s'exprime, comme dans le cas des courbes planes, par la différence de deux lignes droites. On a, en effet,

ds\ = dx\ -4- dy\ -f- dz\ = ^«[(aa'H- boTy-^.. .] = >î(a»-i- A»).

ds Pour calculer X, éliminons TjT entre les deux équations (5); il

vient donc

ou encore

a da -h b db — A(a'^ -h b*)y , (ada-hbdby

a da -\- b db , , .

Mais MI = y/a^-h b'^. Donc, si MI varie dans le même sens quand on passe de I à F, l'arc II' de la développée sera égal à la différence WV — MI. C'est le même théorème que pour les courbes planes.

10. Les normales principales d'une courbe gauche peuvent-elles former une surface développable? Il faudrait, pour cela,

c'est-à-dire et, par suite,