I . , ds

= = o, puisque dx = y'

La torsion de la courbe étant constamment nulle, la courbe serait plane.

Ce résultat peut, d'ailleurs, s'établir immédiatement sans calcul. En effet, si MN était génératrice d'une surface développable, le plan tangent en M à cette surface serait le plan MNT, Mï étant la tangente. Cette développée serait donc l'enveloppe du plan osculateur à la courbe en M; la caractéristique du plan osculateur serait alors la normale principale : résultat inadmissible, puisque nous avons vu que cette caractéristique est la tangente MT.

Une courbe plane a, comme toute courbe, une infinité de développées. Pour une courbe plane, t se réduisant à une constante, l'angle formé par la normale principale MN et la normale MN' engendrant une développable sera constant. Les développées d'une courbe plane seront donc des courbes dont les tangentes font un angle constant avec le plan de la courbe, ou encore seront des courbes dont les tangentes font un angle constant avec une direction fixe. On donne le nom d'hélices aux courbes jouissant de cette propriété : nous allons les étudier avec quelques détails.

11. Prenons donc une courbe C dont la tangente fasse, avec une direction fixe que nous prendrons comme axe des ^, un angle constant dont v représentera le cosinus. On a

dz __ ds ~ "^' donc

en supposant, comme il est possible, que ^ := o pour 5 = 0.

En exprimant les coordonnées jc, y^ z en fonction de l'arc ,ç, nous aurons

et, puisque on aura

Considérons le C)'lindre parallèle dOzel passant par la courbe C. Soit C| sa position droite : l'arc 5| de cette section droite sera

4oO APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES DU CALCUL INFINITÉSIMAL.

donné par la formule

ds] '- dx^-^ dy^' ^ [f^(s ) -i- o'i(s)] ds^ = {1 — -(^- ) cis'-:

donc, en comptant 5| à partir du point oii l'hélice rencontre le pian des xy^

Les cosinus directeurs de la normale principale à une courbe sont proportionnels à

Or ici -jT = o : la normale principale sera parallèle au plan

des xy et, par suite, normale au cylindre projetant la courbe sur ce plan.

Soient M un point de C et M, sa projection sur C|. Calculons le rayon de courbure R de G en M, et celui R< de C| en M,,

i\\-\dJ\) -^Vdsl)

fd^xy fd^yy

Puisque 5| = 5^/1 — y-, on a

'ds\ ~^ 1^^* 'Th^' ~ds\ " 1 — y 1^

donc

Les deux rayons de courbure sont dans un rapport constant. En particulier, si Thélice est circulaire, c'est-à-dire si la section droite C| est un cerle, son rayon de courbure sera constant.

12. Considérons la binorraale en un point quelconque M de riiélice : elle est située dans le plan tangent au cylindre M, et, dans ce plan, elle est perpendiculaire à la tangente MT.

COURBURE ET TORSION DES COURBES GAUCHES. 4oi

Elle fait donc un angle constant avec l'axe des 5, et le cosinus de cet angle est y/i — y^. Or, une des formules de Frenel s'écrit

ds ~ R t' et, puisque y'= o? nous avons

Tp = — -7 = ;— ' const.

Le rapport entre le rayon de courbure et le rayon de torsion est constant dans une hélice.

M. Bertrand a montré que, réciproquement, toute courbe, pour

R laquelle 7^ est constant, est une hélice. Les formules de Frenet vont

nous conduire de suite à ce théorème. Des relations

d% ds

d%' a' di " T

on lire

da'

rfv' R

k désignant,

par

bypothè

se, une constante

Donc

Xrp-^C,

C, C et C" étant trois constantes. Celles-ci ne peuvent être nulles à la fois, car, des équations précédentes, on conclut

Multiplions les trois équations par rfa, rfp, t/y et ajoutons : il vient

C /fat -^G'^?-^CVy-=o, et enGn

Ga-f-G'p4-G'Y^ const.

Ceci montre que la tangente à la courbe fait un angle constant avec la direction qui a pour cosinus directeurs

4oa APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES DU CALCUL IKFINITÉSIMAL.

La courbe est donc une hélice ( • ).

13. Nous termioeroDS ce Chapitre en considérant les courbes tracées sur une sphère. On peut introduire dans Télude de ces courbes une notion importante, susceptible d^ailleurs d'être étendue à une surface quelconque. Prenons, sur la courbe sphérîque C, deux points M et M' et menons les arcs de grand cercle tangents à la courbe en ces points. Soit e l'angle de ces deux arcs de grand cercle, angle voisin de zéro si M' est voisin de M. On donne le nom de courbure géodésique à la limite du rapport

Y (A5--=arcMM'X

quand M' tend vers M. Si nous posons

I ,. e G Aa-

(') La fia du raisonnement précédent suppose essentiellement que la courbe soit réelle. C'est seulement dans ce cas qu'on peut être assuré que la somme

C2-hC"^-C'»

est différente de zéro. Considérons, par exemple, les courbes dont le rayon de courbure et dont le rayon de torsion soient constants. Si G^-h C'-h C'^^ o, la courbe sera une hélice circulaire. Mais plaçons-nous maintenant dans l'hypothèse C-h C'»H- C'2 = o. L'égalité

(a''-Ara)2-h(^'-Â'|à)'-4-(Y''-Arr)==o donne

On a donc A" — -Jit(j = \j — i ); soit, par exemple, A: = i. Il faudra que =; - i. Dans la formule

~ds "^ R ~ T' remplaçons a* par sa valeur la ^- G et a' par R —> il vient

R^=^-.-^ ds- T'

a sera donc un polynôme du second degré en «, et x sera par conséquent un polynôme du troisième degré en s. Il en est de même pour y et z^ et l'on obtiendrait ainsi une cubique gauche imaginaire^ pour laquelle le rayon de courbure et le rayon de torsion sont constants, leur rapport étant égal à i. L'existence de celte cubique gauche imaginaire, ayant courbure et torsion constantes, a été signalée par M. Lyon dans sa thèse Sur les courbes à torsion constante,

COURBURE ET TORSION DBS COURBBS GAUCHES. 4o3

G sera dit le rayon de courbure géodésique de la courbe au point M.

Nous allons donc calculer lim £-> et il est clair que e représente

Tangle des normales au plan des deux grands cercles.

Si donc tto ^1, Yi désignent les cosinus directeurs de la normale au plan du grand cercle tangent en M à la courbe C, on aura, en raisonnant comme dans le calcul du rayon de courbure,

Ji^ ^(t/a,)»-4-(rfp,)'-f-(rfTi)' Or on a évidemment

en se rappelant que a:^-}-^^- -f- 32-- ^2 Il vient alors

I (r ^T — -g c^^)»-h(3 d'x — X dr[ )'^-^{x d'à — y d7.Y

R étant le rajon de courbure- de C en M. Ceci posé, considérons la droite polaire D (^fig. 22), correspondant au point M : elle

Fig. 32.

passe évidemment par le centre [de la sphère; soit, d'autre part^ MN la normale principale rencontrant la droite polaire en I, point

4o4 APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES DU CALCUL INFINITÉSIMAL.

qui est le centre de courbure. Appelons enfin V Tangle DOM,

on aura

!Z L =sinV

et, par suite,

G* «2 tan g* V

C'est la formule que nous voulions obtenir pour la courbure géodésique. On peut aussi en conclure

G = a tang V —

y/rt*— R«

formule simple reliant le rayon de courbure géodésique au rayon de courbure de la courbe.

14. Cherchons, comme application, les courbes de la sphère dont le rayon de courbure géodésique est constant. D'après la formule précédente, ceci revient à chercher les courbes de la sphère ayant une courbure constante. Or nous avons vu que le carré du rayon de la sphère osculatrice était donné en général par Texpression