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La sphère osculatrice d'une courbe tracée sur une sphère étant manifestement cette sphère elle-même, on aura, pour toute courbe de notre sphère,

a^^K^^TU"^^^^

Supposons que la courbe ne soit pas plane, alors T ne sera dS

pas constamment infini et -j^ étant nul, on aura

Or MI = R : il faudra donc que toutes les normales principales de la courbe passent par le centre. Ces normales formant une surface développable, la courbe devra être plane, résultat contradictoire avec riiypothèse faite. Par suite, les courbes cherchées sont des courbes planes : ce sont nécessairement des cercles de la sphère.