CHAPITRE XIV
I. — De la courbure des courbes tracées sur une surface. Théorèmes d'Euler et de Meusuier.
1. Nous allons étudier la courbure des lignes tracées sur une surface quelconque. Soit
l'équation de cette surface. Pour toutes les valeurs de ^ et^ que nous considérons, il sera supposé que la fonction a des dérivées partielles du premier et du second ordre déterminées et continues. Nous avons déjà posé
" ^ ôx^ ày^ ~" dx'^ dx dy^ ' ~~ dy^
Menons la normale au point M{x,y, z) de la surface. Nous définirons sur celte droite géométrique une direction déterminée Mv, en considérant la direction qui fait avec Taxe 0.3 un angle aigu; les cosinus des angles de cette direction avec les axes seront
^l-hp^-r-q* \/ 1 -^ p'^ -X- q^ \/ 1 -^ p^ -\- q^
le radical étant pris positivement.
Ceci posé, considérons une courbe C sur la surface. En désignant toujours par a, p, y les cosinus directeurs de la tangente à cette courbe, on a
4o6 APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES DU C4LCLL INFINITÉSIMAL.
d'où en différentiant, pour un déplacement sur la courbe, pd(i-\- qd^ — d-^ -\- oidp -h ^dq = o,
relation qui, en se servant des premières formules de Frenet et remplaçant dp ei dq par r dx -\- s dy el s dx '\- l rfr, devient
Or, si 9 désigne l'angle que fait la normale principale MN à la courbe avec la direction Mv de la normale à la surface, on aura
cos6 = ' ^ -^-^ 9 v/i-f /?*-+- q^
et nous aidons alors la formule fondamentale
cos6 /'«*-+- 9.5 a^-^ ^p* ^^ \/i-hp^~hq^
2. La relation précédente donne tout ce qui est relatif à la courbure des lignes tracées sur une surface. Nous pouvons en déduire immédiatement le théorème de Meusnier qui ramène la recherche de la courbure des courbes quelconques passant en un point d'une surface à celle des sections normales passant par ce point.
Soient, en effet, deux courbes tracées sur la surface, MC etMC, ayant môme tangente en M; nous aurons
cosô cos6'
R' et 6' ayant les mêmes significations pour la seconde courbe que R et 6 pour la première.
Supposons, de plus, que les deux courbes aient même plan osculateur : leurs normales principales coïncideront, et Ton aura
soit e --= 0', soit 0 ^- O'-f- t: ;
mais ce second cas est impossible, car R et R' sont positifs. On a donc 9 = 6' et, par suite, R = R'.
Ainsi, une courbe quelconque a en M même rayon de courbure que la section plane déterminée dans la surface par son plan osculateur.
Il suffira donc de considérer les sections planes passant par M. Comparons d'abord les sections planes ayant même tangente MT. En particulier, soit une section plane passant par MT et par la normale Mv, section que nous appellerons section normale. Pour cette section, on ne peut avoir que
6' = o ou 6'='::.
On aura 9' = o si le centre de courbure de la section normale est sur Mv, et 6' = 7t s'il est sur le prolongement de Mv. Or on peut toujours supposer qu'on se trouve dans le premier cas en choisissant convenablement la direction positive de l'axe O^. On
a alors
cos6 I "R R'
Cette formule exprime le théorème de Meusnier. Elle montre que le centre de courbure O de la section oblique est la projection sur le plan de cette section du centre de courbure O' de la section normale ayant même tangente.
3. Nous sommes donc enfin ramené à l'étude de la variation du rayon de courbilre d'une section normale dont le plan tourne autour de Mv : cette étude a été faite par Euler.
Reprenons la formule fondamentale du § 1. Puisqu'il s'agit d'une section normale, il faut y faire 9 = o ou 6 = -re. Pour n'avoir qu'un cas à considérer, nous allons faire une convention relative àR; jusqu'ici R a toujours désigné une quantité essentiellement positive. Dans la suite, R va être susceptible d^un signe : pour une section normale, Rsera positif, quand l'angle 6 correspondant à celte section sera nul; il sera négatif quand l'angle Q sera égal àir. En d'autres termes, R sera positif si la direction allant de M au centre de courbure de la section coïncide avec Mv; il sera négatif si cette direction coïncide avec le prolongement de Mv. Avec cette convention, on aura la valeur de R en faisant, dans tous les cas, 6 = 0 dans la forme fondamentale. Celle ci nous donne donc, pour les sections normales,
4o8 APPLICATIOKS GÉOMÉTRIQUES DU CALCUL INFINITÉSIMAL.
Pour étudier la variation de ^> prenons comme origine le
point M, la direction Mv comme axe des z; le plan tangent en M sera alors le plan xj\ On a /? = y = o, et la formule devient
Or soil u) l'angle de la tangente MT avec Taxe Mx; il vient
— ^ rcos*a) -H a^cosu) sinto -h /sîn'o).
On a donc seulement à discuter une forme quadratique en cosco et sino).
Les maxima et minima de ^ ont lieu pour des valeurs de (o qui
annulent sa dérivée, c'est-à-dire, comme le donne un calcul facile, pour les racines de l'équation
us
tang2a> =
Cette équation donne pouro) deux directions rectangulaires. Si l'on prend pour axes des x et des^ ces deux directions, la valeur de s correspondant à ces nouveaux axes devra être nulle, puisque
l'équation admettra les racines w = o, f » et Ton aura
— ~ n cos<u> -h ti sin'ui.
En désignant par R| le rajon de courbure correspondant à la
section co = o et par R2 le rayon de courbure de la section is}= ^,
on a TT- = r< et de même ^- ^= /•». Nous avons donc la relation due
Kl Kj
à Eu 1er
I cos'fo sin^co
R "" "r7~ "^ ""rT"
Les deux sections normales, que nous venons de signaler, sont dites les sections normales principales. Ce sont les sections correspondant aux maximum et minimum des rayons de courbure. Ri et R2 sont les rayons de courbure principaux de la surface en M.
COURBES TRACÉES SUR UNE SURFACE. ^Og
4. Au poinl de vue de la forme de la surface dans le voisinage de M, deux cas sont à distinguer. Soit d'abord R, et Rj de même signe; R a un signe invariable. La surface est alors, dans le voisinage de M, d'un même côté de son plan tangent; les centres de courbure des sections normales sont compris entre les deux centres de courbure 0« et O2 des sections principales.
Il en est tout autrement si K^ et R2 sont de signes contraires : R a un signe variable. Les deux valeurs de o), correspondant à
tangd)
donnent^ =0, et les deux sections normales, correspondante ces
tangentes, ont en M une inflexion. La surface n'est pas tout entière d'un même côté de son plan tangent dans le voisinage de M : elle est dite alors à courbures opposées au point M. Un hjperboloïde à une nappe nous offre, en un quelconque de ses points, l'exemple d'une telle surface.
Un cas intermédiaire est celui où Tune des quantités ^-> k-
Kl Kj
serait nulle; on aurait, par exemple,
I sin*(i>^
R serait de signe invariable, s'annulant seulement pour w Signalons encore le cas particulier où R| = Rj : on aura
1 ï R "^ Ri '
Toutes les sections normales ont alors même courbure ; le point est dit un ombilic de la surface. En un tel point, les sections principales sont indéterminées.
Si, sans particulariser les axes des x et des y, nous revenons à la formule
les deux grandes distinctions que nous avons faites correspondent èi s^ — r^ <; o et à s- — rt > o. Dans cette dernière hypothèse, les directions de tangentes, pour lesquelles la section normale corres-
4lO APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES DU CALCUL INFINITÉSIMAL.
pondante a une inflexion, sont données par Téqualion rx^-h isxy -I- 1}'^ = o.
Les tangentes des sections normales pour lesquelles -^ = o sont
appelées les tangentes principales de la surface en M. Il ne faut pas confondre, comme on voit, les tangentes principales avec les tangentes des sections normales principales.
Les tangentes principales peuvent être définies .d'une autre manière. Considérons, en effet, le développement de z suivant les puissances de x et y^ d'après la formule de Taylor; on aura
z — — {rx^-h isxy -h ty^) H-. . .,
les termes non écrits étant de degrés supérieurs à deux. Coupons la surface par le plan 5 := o, Téquation de la section sera
o =-: rx^ -^ iLSxy -^ ty^ -h . . . ,
ce qui montre qu'elle a en M un point double, et les tangentes en ce point double sont les tangentes principales. Ainsi les tangentes principales à une surface en un point M sont les tangentes, en ce point, de la section plane déterminée dans la surface par le plan tangent en M.
Prenons, par exemple, un point d'un lijperboloïde à une nappe ; les deux tangentes principales en ce point sont les deux génératrices rectilignes qui v passent.
