Revenons à la formule générale
les axes de coordonnées étant quelconques, mais, bien entendu, rectangulaires. Cherchons l'équation du second degré en ^ déterminant les traces des sections principales surle plan tangent. Nous savons qu'elles correspondent au maximum et au minimum de ^
ou bien de j ^-•
COURBKS TRACÉES SUR U>B SURFACE. ^l\
Nous devons égaler à zéro la dlfTérenlielle de celle expression, ce qui donne
(1) rad:tL-hs{aLd^ -*- ^doL)-^t'^d3 r= o.
Or a el p sonl liées par la relalion
as l pï l (jpof -l ^p)«=: I (puisque -^ =: pa-^ q^);
en diiTérentianl celle dernière relalion, il vient
(2) 0Ldx-]-'^d^-h{p%-hq^Xpda-{- q d'}) ^o.
On aura donc, en éliminant doL et d^ entre (1) et (2), a«[5(i-H/>î)— />yr] -h a3[r(i -+-/>«) — /•(!-+- y»)]— p» [5(1-4- 9r2)—;?y^] = o.
Telle est l'équation faisant connaître les deuiL tangentes aux sections normales principales en un point (x, y^ z) de la surface.
Cherchons, en particulier, les équations qui caractériseront un ombilic. En un tel point, les sections normales principales sont indéterminées; l'équation précédente doit être identiquement vérifiée, ce qui entraîne
r J / \-hp* pq IH- y*
11 y a donc deux conditions pour exprimer qu'un point esl un ombilic.
6. Cherchons maintenant l'équation du second degré donnant les deux rayons de courbure principaux. L^éliminalion de rfa et rfjî entre les équations (1) et (2) nous a conduit à l'équation
a(n-/)*) -|-/7<7P 3(n- ^î) -I- /?^a ra -t- 5^ 5a -+- ^ 3
que j'ai donnée plus haut sous forme entière; on peut encore écrire, comme valeur commune de ces rapports, en multipliant les deux termes du premier rapport par a et les deux termes du
second par p, '
a- ( I "- /;5 ) -h o.pq a^ -4- p2 ( I -+- ^M
c'est-à-dire
r. ou -~
ra»-^ 'isap — ^p» /4H^s^^.
Posant donc
nous aurons
ra-r^^ SOL f t^
L'élimination de q- entre ces deux équations conduit à l'équation cherchée
p^{i-^P'-\-q^)~ p[r(i-h q^)-h t(i-^p^) ~9.pqs]-h ri — s^ = o,
qui donne, en remplaçant p par ^- -^ -> les deux rayons de
courbure principaux au point considéré.
Cette équation en p aura toujours ses racines réelles j si elles sont de même signe, la surface est convexe dans le voisinage du point (^, JK? ^)j elle est à courbures opposées, dans le cas contraire. Le signe de rt — s^ permet donc de décider de la nature de la surface dans le voisinage d'un point.
On peut, avec l'équation précédente, exprimer qu'un point est un ombilic : il suffira d'écrire qu'elle a une racine double. Il semble donc, au premier abord, qu'il y ait contradiction avec le résultat obtenu plus haut, où nous avons trouvé deux équations, tandis qu'ici une seule équation exprimera que les deux valeurs de p sont égales. L'explication est facile : le discriminant de l'équation en p, on le vérifiera aisément, est une somme de deux carrés, et, comme la surface est supposée réelle, il faut annuler chacun des carrés, ce qui donne les équations précédemment trouvées.
II. — Lignes de courbure. — Propriétés et équations générales.
7. En étudiant les congruences de droites (Chap. XI, § 15), nous avons déjà défini incidemment les lignes de courbure d'une surface. Les normales à une surface forment une congruence. Soient M un point quelconque de la surface et MN la normale en ce point; par MN passent deux surfaces développîibles ayant pour génératrices des normales à la surface. Ces deux surfaces se coupent à angles droits. Nous en avons conclu que par chaque point M
COURBES TRACÉES SUR UNE SURFACE. l\l^
d'une surface passent deux courbes sur la surface, telles que les normales aux divers points de ces courbes forment deux surfaces développables : ces deux courbes, qu'où appelle lignes de courbure de la surface^ sont à angle droit. Pour les trouver, il faut intégrer une équation différentielle du premier ordre et du second degré.
Traitons la question directement. Les équations de la normale à la surface au point {Xy y^ z) sont
X — — pt-^ X ->t- pzy
Cette droite engendrera une surface développable si
d{x -^ pz) d(y -h 7 3 ) dp dq
OU bien
dx -^ p dz dy -^ q dz
dp ~ dq
et, en remplaçant dz par p dx -]- q dy,
{i-^ P')dx -h pq dy pq dx -^ ( \ -^- q^) dr
r dx -h s dy ~~ s dx -\- tdy
Cette équation du second degré en ~- est l'équation différentielle des projections des lignes de courbure sur le plan des xy. Nous en déduisons un théorème très important : la relation précédente coïncide en effet avec l'équation en a et j3 trouvée plus haut, relative aux tangentes des sections normales principales. On en conclut que les lignes de courbure en chaque point sont tangentes aux sections normales principales.
Voici une seconde propriété fondamentale des lignes de courbure. Soit C une ligne de courbure de la surface : les normales menées à la surface par tous les points de cette ligne, formant une surface développable, sont tangentes à une courbe gauche. Cherchons le point de contact de l'une d'elles avec son enveloppe; les coordonnées de ce point vérifient les équations de la normale en
X — /?Z -f- X -' pz^ Y m qt^- y ^- q z
4l4 APPLICATIO?(S GÉOMÉTRIQUES DU CALCUL IlfFINITÉSIMAL.
et les deux équations obtenues par dilTérenliation
- dpX - dx - p dz -^ z dp - o, — dq'L -r- dy T q dz -\- z dq = o.
Ces quatre équations sont compatibles, diaprés la définition même de C, et l'on a
dx -^ p dz dv -r- q dz
dp dq
Or dx et dv sont proportionnels aux cosinus a et ^ relatifs à la tangente d'une des sections principales en M. On a donc
et, par conséquent, d'après une combinaison faite plus haut,
Mais R désignant le rayon de courbure principal, correspondant à (a, P), le second membre est égal à ; on a, par suite,
ce qui montre que le point de contact considéré est au centre de courbure principal ou, sous une autre forme, la normale en tout point d'une sur/ace touche les deux nappes de la surface focale de la congruence des normales aux deux centres de courbure principaux relatifs à ce point.
8. L'équation différentielle des lignes de courbure est susceptible de formes diverses. Des formules intéressantes, équivalentes à cette équation différentielle, ont été données par Olinde Rodrigues. Désignons par a, 6, c les cosinus directeurs de la normale en un point arbitraire d'une surface, et soit R le rayon de courbure principal correspondant à une des sections principales, les coordonnées du centre de courbure seront
X r- Ra, y -\- Ré», :: ^ Rc.
Pour un déplacement sur la ligne de courbure tangente à la seclion principale, on aura donc
ce qui exprime que le centre de courbure décrit une courbe langenle à la normale de la surface. Ces équations peuvent s'écrire
dx -\-^da dy -\-^db dz -^^dc a " b ' ' c ^
et la valeur commune de ces rapports sera zéro^ comme on le voit en les multipliant respectivement par a, h. c. On a donc
doc -+- R da — o, dy \-Kdb — o, dz -i- R c?c = o.
Telles sont les formules de Bodrigues. Elles se réduisent à deux^ puisqu'en les multipliant respectivement par «, 6, c et ajoutant on obtient une identité. Comme elles renferment R, elles sont équivalentes à l'équation difTérentielle des lignes de courbure. Leur intérêt provient de leur symétrie et de ce qu'elles font connaître en même temps une expression simple de R.
Si l'on veut en tirer l'équation différentielle, trouvée plus haut, des lignes de courbure, il suffit d'éliminer R entre les deux premières, ce qui donne
dx db — dv da = o.
Or
donc, en substituant,
{dp dy — dq dx){\ -H /?* -h 7- ) -f- {p dy — q dx){p dp -^ q dq) — o.
L'équa(ion étant écrite sous celte forme, on peut en conclure immédiatement une remarque intéressante. La courbe imaginaire donnée par l'équation
est une ligne de courbure, puisqu'on a pour elle/? û^/> -- 7 ^'7 = 0.
4l6 APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES DU CALCUL INFINITÉSIMAL.
On peut donc toujours trouver sur une surface une ligne de courbure, sans aucune intégration : cette ligne de courbure est d'ailleurs imaginaire. Ce résultat est dû à M. Darboux (*), qui y est arrivé de la' manière la plus simple en considérant sur la surface les points où le plan tangent est parallèle à un plan tangent au cône asymptote de la sphère. Le lieu de ces points forme bien la courbe obtenue plus haut.
Considérons, par exemple, relHpsoïde
En exprimant que le plan tangent en un point (^, y, z) est parallèle aux plans asymptotes de la sphère, on trouve
^ "^" Vv "^ "c"ï "" ^•
Ce cône coupe la surface suivant une ligne imaginaire, qui est une ligne de courbure de Tellipsoïde. Cette ligne de courbure est la limite de Tintersection de l'ellipsoïde donné avec Fellipsoïde
quand X tend vers zéro.
9. L'équation des lignes de courbure peut encore se mettre sous la forme suivante, très utile dans les applications. Désignons par u, ^, «', non plus les cosinus directeurs de la normale, mais seulement des quantités proportionnelles à ces cosinus, et considérons une ligne de courbure.
Soient
. Z — z -r- wly
les coordonnées du point où la normale touche son enveloppe. On aura
dix H- ul) H{y-^v!^ H{z-\- %vl) u »^ ~ w '
(*) G. Darboux, Comptes rendus et Annales de V École Normale, 1864.
COURBES TRACÉES SUR UNE SURFACE. ^l'J
équations qui reviennent à
dx -4- Idu dy -¥■ Idv dz -h Idw
d'où, en désignant par — /' la valeur de ces rapports,
dx ~H Idu -4- uV = o, dy -4- Idv -H vV = o,
dz -f- Idw -f- wV — o,
et, en éliminant / et /',
dx u du dy V dv dz w dw
C'est, dans toute sa généralité, Véquation différentielle des lignes de courbure. Si, par exemple, les coordonnées x^y^z d\in point quelconque de la surface sont données en fonction de deux paramètres a et p, on pourra prendre pour m, i', w les trois déterminants fonctionnels
et, en substituant, on aura l'équation différentielle en -p des lignes de courbure de cette surface.
10. La recherche des lignes de courbure d'une surface revient, d'après ce qui précède, à la détermination de l'intégrale générale d'une équation différentielle du premier ordre; nous indiquerons seulement, pour le moment, deux classes de surfaces dont on obtient immédiatement les lignes de courbure.
Sur une surface de révolution, les lignes de courbure sont les parallèles et les méridiens. En effet, les normales à la surface menées aux différents points d'un méridien sont situées dans un même plan et forment, par suite, une développable ; d'autre part, les normales en tous les points d'un parallèle forment un cône de révolution qui est aussi une surface développable. On trouverait facilement le même résultat par le calcul, en prenant l'équation P. - I. 27
4l8 APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES OU CALCUL INFINITÉSIMAL.
de la surface sous la forme
Taxe des z étant Taxe de la surface. On n'a qu'à substituer, dans l'équation du paragraphe précédent,
u — 7.xf'{x^-\-y^), V = 7.yf'{x^-^y^)^ w=—\\
le déterminant se réduit à l'équation
{xdx -^ ydy){xdy — ydx) =^ o^
qui donne les parallèles et les méridiens.
Considérons, en second lieu, une surface développable. Les génératrices rectilignes de cette surface constituent un premier système de lignes de courbure, car, le plan tangent étant le même en tous les points d'une génératrice, les normales à la surface en tous les points de celle-ci sont toutes dans un même plan. Le second système est formé par les trajectoires orthogonales des génératrices, c'est-à-dire par les développantes de l'arête de rebroussement.
Cherchons les rayons de courbure principaux en un point P d'une surface développable. L'un de ces rayons est manifestement infini, puisqu'une des sections normales principales est une ligne droite. Menons la génératrice passant par le point P et soit M le point où elle touche l'arête de rebroussement. Désignons par {x\^y\^ Z|) les coordonnées de P et par a«, 6|, c« les cosinus directeurs de la normale en P à la surface; soit enfin R| le second rayon de courbure principal cherché. On a, d'après les formules
de Rodrigues,
P dxx
dai
les différentielles étant relatives à un déplacement sur la seconde ligne de courbure. En appelant (:r, y^ z) les coordonnées de M et adoptant pour l'arête de rebroussement nos notations habituelles, on a
xx = x-^U (/ = Mp), ai = a*.
Or, quand on se déplace sur une trajectoire orthogonale des génératrices, àx{ = /rfa puisque ds -\- dl =z o.
Par conséquent
^' = -d7' Les formules de Frenet donnant -^—^ = ^* nous avons finale-
ment
T et K désignant les rayons de torsion et de courbure en M de Paréte de rebroussement.
