III. — Théorème de Joachimstal. — Théorème de Dupin

11. On doit à Joachimstal une proposition élégante relative à deux surfaces ayant une ligne de courbure commune. Nous allons montrer que, si deux sur/aces ont une ligne de courbure commune, elles se coupent sous le même angle en tous les points de cette courbe.

En un point quelconque M de cetle courbe commune L, menons les normales MN et MN' aux deux surfaces S et S', et soit Mv la normale principale à la courbe L. Si (p et (p' désignent les angles de Mv avec MN et MN', on aura (Chap. XIII, § 9)

o' = 'u-hG'

(C et C étant des constantes), puisque les normales MN et les normales MN' restent tangentes à deux développées de la courbe, conséquence immédiate de ce que L est une ligne de courbure de S et de S'.

On a donc

(5'-cpr=C'- G:

l'angle cp' — cp de MN et de MN' est constant.

A ce théorème on peut joiudre une réciproque : Si deux surfaces se coupent sous un angle constant en tous les points d\ine courbe L et que celle-ci soit une ligne de courbure pour la première surface, elle sera aussi ligne de coarbure pour la seconde. En eflet, l'angle jNMjN' étant constant, on aura

o' — çp = G"

(C étant une constante); or, puisque, pour la surface S, la ligne L est une ligne de courbure, la normale MN restera tangente à une développée de cette courbe. Donc

et par suite

G étant une constante, c'est-à-dire que MN' reste tangente à une courbe gauche. La ligne L est alors une ligne de courbure pour la surface S'.

L'application de ces théorèmes est particulièrement intéressante pour les lignes planes et sphériques.

Toute ligne plane est une ligne de courbure de son plan et toute ligne tracée sur une sphère est une ligne de courbure de cette sphère. Donc, si un plan ou une sphère coupe une surface suivant une de ses lignes de courbure, Tintersection a lieu sous un angle constant tout le long de cette ligne.

Réciproquement, si un plan ou une sphère coupe une surface sous un angle constant tout le long d'une ligne, celle-ci sera une ligne de courbure pour la surface.

12. Passons maintenant à un théorème célèbre dû à Dupin et qui a été l'origine d'une théorie considérable, celle des surfaces orthogonales. Nous considérons trois familles de surfaces dont les équations renferment chacune un paramètre arbitraire

X, [JL, V étant les trois constantes arbitraires. Par un point quelconque de Tespace passe une surface de chacune de ces familles.

Supposons que deux surfaces quelconques prises dans ces trois familles se coupent à angle droit : on dit que ces. surfaces forment un système triple orthogonal.

Le théorème de Dupin s'énonce ainsi :

Les sur/aces d'un système triple orthogonal se coupent suivant leurs lignes de courbure.

13. La démonstration de ce théorème va résulter de quelques identités que je commence par établir.

Soient P un point quelconque de l'espace, et PL, PM, PN les trois normales aux surfaces précédentes passant en P : PL est normal à la surface/=X, et ainsi des autres (^fig- 23). Ces trois droites forment, par hypothèse, un trièdre trireclangle ; de plus chacune d'elles sera évidemment tangente à l'intersection des deux surfaces auxquelles elle ne correspond pas. Nous désignerons par (X) l'intersection des surfaces cp = jji, A = v : la courbe (X) sera tangente à PL-, et pareillement pour les autres.

Ceci posé, les équations du système triple orthogonal permet-

Fig. 23.

tent d'exprimer x^y^ z en fonction de \ [x, v. Si, dans ces expressions, on donne à [x et v les valeurs correspondant au point P, et qu'on fasse varier X, le point (:r, y^ z) décrira la courbe (X). L'orthogonalité du système sera alors exprimée par les identités

dix

dx dx

dx dx d7 dï

= Oj

où il faut entendre par 51 ^ ^ '^ somme

dx dx dy dy dz dz d\ d\i d\ d\L d\ d\L

Ces trois identités expriment que les tangentes aux courbes (X), (}x), (v) sont deux à deux rectangulaires.

En dlfTéren liant respectivemeni par rapport à v, X et jx les identités (3), nous avons

^ dx â^x ^ dx d^x ^

^ dx à^x ^ dx d^x ZàT* 7kd^'^2à'dl ~(hdyi ~'^'

On en conclut de suite

y^ dx d^x __^ dx d*x __"^ àx d*x 2dd\ d^ '^2àd^ dTd^ "Zdd^ 7kd^ ~ ^'

Remarquons encore, pour avoir sous les yeuse tous les résultats nécessaires à la démonstration, que, d'après les identités (3), les expressions

Diy,

Oa, V)

sont

proportionnelles à

àz

àv-

àv-'

14. Ces remarques faites, la démonstration est immédiate. Montrons, par exemple, que la courbe (X) est une ligne de courbure pour la surface ^(^, y y z) = v. En appelant «, r, cv des quantités proportionnelles aux cosinus directeurs de la normale à cette surface, nous pouvons prendre

-ày.

or, d'après le § 9, il nous faut vériGer que

dx u du

le d étant relatif à la variation de X puisqu'il s'agit de la courbe (X). Nous devons donc avoir

ày d\

dz dl

ày dz

d^x d^ôl

d^y d^jdX

d^z (Ndl

Mais celte égalité se réduit à

2d^x ôx

C'est une des identités établies plus haut. Le théorème de Dupin est démontré,

15. Les surfaces homofocales du second degré offrent l'application la plus simple du théorème précédent.

Considérons les surfaces homofocales du second degré représentées par Téquatîon

(4) ^-^Â^x-^??rx=' («>*>«)•

Par un point quelconque de l'espace passent trois de ces surfaces ; on vérifie facilement, en effet, que cette équation du troisième degré en X admet trois racines réelles séparées par — a^, — 6^, — c^ et 4-00, et auxquelles correspondent respectivement un hyperboloïde à deux nappes, un hyperboloïde à une nappe et un ellipsoïde. Nous formons donc ainsi trois familles de surfaces; elles rentrent dans le même type analytique, mais elles sont géométriquement distinctes et par chaque point de l'espace passe une surface de chacune des familles. Ce système triple est orthogonal, car deux surfaces homofocales quelconques, les surfaces (4) et (5) par exemple

(5) \- -rf \--z =1,

se coupent à angle droit. En retranchant en effet membre à membre les équations (4) et (5), on obtient la relation

qui exprime précisément l'orthogonalité des surfaces en un point commun {x^y, z).

Il est facile maintenant de trouver les lignes de courbure de l'ellipsoïde

rt« 6* c'

Ce seront les intersections de cette surface avec Thyperboloïde à deux nappes

rr» V» >s*

a* H- A fc»* -H A c' -+- A

et avec l'hyperboloïde à une nappe rr* ^'^ z'

(-ÔÎ<|JL< — C»).

Je n'indiquerai pas d'autres systèmes triplement orthogonaux. Celte théorie a fait l'objet de travaux considérables. Après les quadriques, le système orthogonal le plus simple est formé de surfaces du quatrième degré ayant pour ligne double le cercle imaginaire de l'infini : il a été découvert par M. Moutard et par M. Darboux. On consultera avec grand intérêt, sur celte question, l'Ouvrage de M. Darboux : Sur une classe de surfaces algébriques (Paris, Gauthier-Villars, iS^S).