IV. — Surface enveloppe de sphères. — Cyclide de Dupin

16. Considérons une surface enveloppe d'une sphère dépendant d'un paramètre arbitraire, soit

(a- — a)2-h (^ — ô)« -h (iï — c)î = R»,

a, è, c et R étant fonctions d'un paramètre a. La caractéristique de cette sphère est évidemment un cercle. La surface peut donc être considérée comme engendrée par une circonférence mobile. Ces circonférences forment un système de lignes de courbure de la surface, car les normales à la sphère en tous les points de sa caractéristique sont aussi des normales à la surface; celles-ci forment, par suite, une surface développable. Nous obtenons donc ainsi une surface dont un des systèmes de lignes de courbure est circulaire.

Réciproquement, toute surface ayant un système de lignes de courbures circulaires est l'enveloppe d'une sphère dépendant d'un paramètre arbitraire. En effet, si C représente un de ces cercles, son plan fera, avec la surface, un angle constant, d'après le théorème de Joachirastal; les normales à la surface en tous les points de C iront donc toutes passer par un même point O. La surface

sera l'enveloppe de la sphère ayant O pour centre et passant par C : cette sphère dépend, coQime le cercle G lui-même, d'un paramètre arbitraire.

En général, dans la congruence des normales à une surface, comme dans toute congruence de droites, il existe une surface focale formée de deux nappes. Pour la surface que nous venons d'étudier, l'une de ces nappes se réduit à une courbe. Toutes les normales à la surface rencontrent, en effet, la courbe lieu du centre O de la sphère; cette courbe est donc une des nappes de la surface focale de la congruence des normales.

Un cas particulier intéressant est celui où le rayon R de la sphère est constant; la surface est dite une surface canal. Le plan de la caractéristique passera alors constamment par le centre de la sphère correspondante et sera normal à la trajectoire de ce centre. La surface possédera la propriété remarquable d'avoir, en chaque point, un de ses rayons de courbure principaux constant; celte valeur constante sera évidemment égale à R.

Montrons que, réciproquement, toute surface ayant un de ses rayons de courbure principaux constant est une surface canal. En eflet, considérons une ligne de courbure C correspondant au rayon de courbure principal constant; la développée de cette courbe, enveloppe des normales à la surface en tous ses points, devra se réduire à un point puisque son arc aura une longueur nulle. Soit O ce point, la sphère ayant O pour centre et passant par C sera tangente à la surface en tous les points de C : la surface est donc l'enveloppe d'une sphère de rayon constant dépendant d'un paramètre arbitraire.

17. Cherchons si une surface peut avoir, en chaque point, ses deux rayons de courbure principaux constants. Nous supposerons d'abord ces deux rayons différents. D'après le raisonnement fait plus haut, la surface pourra être considérée de deux manières différentes comme une surface canal. La surface focale de la congruence des normales se composera de deux courbes F et F'. Soient O et O' les centres de courbure correspondant à un point M de la surface; les courbes F et F' seront normales à 00' et, de plus, leurs tangentes en O et O' doivent être à angle droit, puisque ces tangentes sont perpendiculaires aux plans des deux lignes de

courbure circulaires de la surface passant en M. Or cela est impossible, car, 00' étant constant, les deux ligues F et T' sont parallèles. Il ne peut donc y avoir de surface ayant ses deux rayons de courbure principaux constants et différents (* ).

Nous avons maintenant à supposer que les deux rayons de courbure principaux sont égaux.

Montrons, d'une manière plus générale, avec Monge, qu'une surface dont tous les points sont des ombilics est nécessairement une sphère. Nous devrons avoir, pour tous les points de la surface cherchée,

Or désignons par X, Y, Z les cosinus directeurs de la normale x= -A^., Y=^^=. Z=-— -1

On a, comme conséquence immédiate des équations (6),

dy ~~ ' d.r ~' * dx ^ dy

11 en résulte que X ne dépend que de a;, et Y de j^; donc -^

et -pj qui sont fonctions, l'une de a?, l'autre de j^, ne peuvent être identiques que si leur valeur commune est une constante; désignons-la par - • On aura donc

x — xsi Y y—y^

Xq et j^o étant des constantes. Le cosinus Z sera, dès lors, Z = i /a2-(:r-a;o)«-(^-^o)* •

(*) Voir y pour le môme théorème, Bertrand, Traité de Calcul différentiel^ p. 734.

dz = p dx -^ q dy devient

Mainlenant les valeurs de /? et y étant — ^> — ^> la formule

el enfin

z — zo= v^a»— (a? — a?©)' — (^— J^o)* («o étant une constante) ou

ce qui est bien Téquation d'une sphère.

18. Nous avons étudié les surfaces dont un des systèmes de lignes de courbure est circulaire. Cherchons maintenant les sur-face dont les deux systèmes de lignes de courbure sont circulaires. Ces surfaces remarquables ont été étudiées parDupin.

Considérons donc une surface ayant toutes ses lignes de courbure circulaires. Elle sera d'abord (§ 16) l'enveloppe d'une première famille de sphères correspondant au premier système de lignes de courbure circulaires; mais elle pourra aussi, d'une autre manière, être regardée comme l'enveloppe d'une seconde famille de sphères correspondant au second système de lignes de courbure. Or une sphère quelconque de la première famille est tangente à une sphère quelconque de la seconde, car, si l'on considère deux lignes de courbure de systèmes différents se coupant en un point M, les deux sphères correspondantes seront évidemment tangentes en M. Si donc on prend trois sphères quelconques de la première famille, les sphères de la seconde lui étant tangentes, nous pouvons dire que la surface, si elle existe, est Venveloppe d^une sphère restant tangente à trois sphères données.

Nous sommes ainsi conduits à étudier la surface enveloppe d^une sphère tangente à trois sphères données. La position de cette sphère ne dépend que d'un seul paramètre arbitraire : c'est ce qu'on voit de suite en cherchant le lieu de son centre. Soient C, C, C" les centres de trois sphères données S, S', S", et O le centre d'une sphère S tangente à ces trois sphères. Le point O sera sur un hyperboloïde de révolution obtenu en faisant tourner autour de

4^8 APPLICATIONS GÉOHfiTRlQUBS DU CALCUL INFINITÉSIMAL.

ce/ une hyperbole convenable ayant C et CJ pour foyers; de même le point O sera un hyperboloïde de révolution obtenu en faisant tourner, autour de CC". une hyperbole ayant G et C" pour foyers. Ces deux hyperboloïdes se coupent suivant deux courbes planes, conséquence immédiate de ce que, F étant un foyer commun des hyperboles méridiennes, les deux surfaces sont tangentes le long d'une ligne à la sphère de rayon nul ayant pour centre F. Le lieu du centre O, pour une surface irréductible enveloppe d'une sphère restant tangente à trois sphères données, sera donc une conique F. Remarquons, de plus, que les cônes ayant pour sommets respectifs C, G, C" et passant par F sont de révolution. On sait, en effet, que, quand on fait tourner une conique autour de son axe, Je cône ayant pour sommet un foyer situé sur cet axe et pour directrice une section plane quelconque de la surface de révolution ainsi engendrée est de révolution.

Ces remarques faites, il est nécessaire de rappeler les propriétés de la conique focale d'une autre conique. Étant donnée une conique F, le lieu des sommets des cônes de révolution passant par cette conique est une seconde conique F' dite focale de la première, et il y a réciprocité entre ces deux coniques. Le cône ayant pour sommet un point O de F et passant par F' a, pour axe de révolution, la tangente en O à la conique F. Je ne crois pas utile d'insister sur ces théorèmes classiques, dont la démonstration n'offre d'ailleurs aucune difficulté.

19. Revenons maintenant à la cyclide de Dupin. La caractéristique de S est une circonférence passant par les points de contact de S avec les sphères S, S', S", car la caractéristique d'une surface mobile restant constamment tangente à une surface fixe passe évidemment par le point de contact. Le cône ayant O pour sommet et passant par la caractéristique de 2 sera de révolution; son axe sera la tangente en O à la conique F et, de plus, il contiendra les droites OC, OC et OC. Or le cône ayant O pour sommet et passant par la focale F' de la conique F est aussi de révolution; il a le même axe que le précédent et passe aussi par OC, OC et OC, puisque, d'après ce que nous avons fait remarquer à la fin du § 18, les trois points C, C, C appartiennent à la conique F'. Ces deux cônes coïncident donc nécessairement. Une conséquence impor-

tante en résulte : toutes les normales de la cyclide rencontrent la conique V focale de F. La seconde nappe de la surface focale de la congruence des normales se réduit donc aussi à une courbe, la courbe F'. A cette seconde courbe V rencontrée par toutes les normales correspond le second système de lignes de courbures, et, diaprés le raisonnement fait plus hant, ce second système sera nécessairement formé de cercles. Nous avons donc démontré que la cyclide de Dupin a ses deux systèmes de lignes de courbure circulaires (*).

20. On peut, a priori, considérer une congruence formée de droites rencontrant deux coniques F et F' focales l'une de l'autre. Soient O un point quelconque deF, etO'un point quelconque de F' ; nous allons voir sans peine que les droites 00' restent normales à une même surface. Cherchons en effet les plans ybcaw^r correspondant à la droite 00' de la congruence. Les deux développables appartenant à la congruence et passant par 00' sont évidemment le cône de sommet O et de directrice F', puis le cône de sommet O' et de directrice F. Les droites considérées appartiendront à la congruence si ces deux cônes se coupent orthogonalement (Chap. XI, § 14). Or on voit de suite qu'il en est ainsi : si, en effet, OT désigne la tangente en O à la conique F, le second cône aura, pour plan tangent, le plan O'OT, et ce plan est évidemment normal au premier cône puisqu'il passe par son axe OT. Ainsi, les droites 00' resteront tangentes à une série de surfaces parallèles. Ces surfaces ont manifestement leurs deux systèmes de lignes de courbure circulaires.

V. — Généralités sur les lignes asymptotiques. Quelques exemples.

2i. On appelle ligne asymptotique d'une surface une courbe de celte surface, dont le plan osculaleur est en chaque point tangent à la surface. Écrivons la relation différentielle qui exprimera

(*) M. Mannheim a démontré élégamment que la cyclide de Dupin a ses deux systèmes de lignes de courbure circulaires, en montrant que cette surface est la transformée d'un tore par rayons vecteurs réciproques {NouveUes Annales de Mathématiques, 1 86o ) .

43o APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES DU CALCUL INFINITÉSIMAL.

cette propriété. Soit

Téquation du plan tangent à la surface au point {x^y^z). Les conditions exprimant que ce plan est osculateur à une certaine courbe de la surface, lieu du point (:r, y, x;), sont

p dx -^ q dy — dz = o, pd^x -\- q d^y — d^z = o.

La première équation est toujours vérifiée. La seconde est la condition cherchée, mais elle se transforme de suite, car, en différentiant la première et retranchant, il reste

dp dx -^ dq dy = o.

On peut encore écrire, en remplaçant dp et dq par r dx -{- s dy ei sdx -^ tdy,

r dx^ -h 2 5 dx dy -{- t dy^ = o.

Cette équation homogène et du second degré en dx et dy donne, pour -^9 deux valeurs /< {x,y) elf2{x,y). On a donc deux équations du premier ordre

Elles montrent qu'en général par chaque point M d'une surface passent deux lignes asymptotiques. Nous avons déjà appelé l'attention sur les deux directions qui sont les tangentes des lignes asymptotiques passant par M : ce sont les tangentes principales. Pour s'en assurer, il suffit de se reporter à la formule (§3)

^i-^f^-^q^ =raîH-25apH-/pî.

Pour les tangentes des lignes asymptotiques, le second membre

sera nul et, par suite, on aura ^ = o, c'est-à-dire que les sections

normales correspondant à ces tangentes ont un rayon de courbure infini. On peut encore dire que les tangentes aux lignes asyinpto-

COURBES TRACfiRS SUR UNE SURFACE. 43 1

tiques sont les tangentes, au point de contact, de la section plane déterminée dans la surface par le plan tangent.

Il n'en est pas des lignes asymptotiques comme des lignes de courbure. Par un point réel arbitraire de la surface passent deux lignes de courbure réelles; les lignes asymptotiques en un point sont seulement réelles quand la surface est en ce point à courbures opposées. Ainsi y sur une ellipsoïde, les lignes asymptotiques sont imaginaires; sur un hyperboloïde à une nappe, les lignes asymptotiques sont réelles, et ce sont évidemment les deux systèmes de génératrices reclilignes.

22. La propriété des lignes asymptotiques est essentiellement projective, c'est-à-dire que, si l'on effectue sur une surface une transformation homographique quelconque, les transformées des lignes asymptotiques de la surface seront les lignes asymptotiques de la transformée de la surface. C'est là une remarque évidente, car, par une transformation homographique, un plan tangent se transforme en un plan tangent, et le plan osculateur d'une courbe qui est la limite d'un plan passant par trois points infiniment voisins devient le plan osculateur de la courbe transformée.

En particulier, étant donnée l'équation d'une surface en coordonnées rectilignes

l'équation

dp dx -h dq dy — o

sera l'équation diiTérentielle des lignes asymptotiques de la surface, quels que soient les axes O^, Oy, O^, rectangulaires ou obliques, auxquels on rapporte la surface. Deux surfaces ayant la même équation et rapportées à des axes différents sont, en effet, la transformée Tune de l'autre par une transformation homographique.

23. Cherchons, sous sa forme la plus générale, l'équation différentielle des lignes asymptotiques. Nous supposerons la surface définie par les trois équations

Soit

A(X — x)'hBiY-y)-h G(X - z) = o

432 APPLICATIONS GfiOHfiTRIQUES DU CALCUL INPIIIITÊSIXAL.

l'équation du plan tangent au point {x,y, z). On a donc

OU ou ou

Ov dç dv

Pour que le plan soit osculateur àla courbe correspondant à une certaine relation entre u et c^, il faut que

\ dx -i- B flTy ->rCdz = o, A d'^x -f- B c?»7 -h G d^z = o.

La première de ces équations est vérifiée en vertu des deux précédentes. La seconde se réduit à

1 , , du dv ■ ouov

àv*

dv*

T^rf^.^oJlî-,

B\:^du^-^-^^-^dudv-h^ dvA

I du^ ou dv ôv^ J

c|JJi.«..

-^ dudw -

' dudv

Pour avoir l'équation différentielle cherchée, il n'y a qu'à éliminer A, B, C entre les équations (7) et (8). On a ainsi

dv^

-4 du^ -h -2 ^-^ dudv-^-T^ ôu^ àudv dw*

du dv

la deuxième et la troisième colonne se déduisant de la première en remplaçant/ successivement par <p et i^,

24. Dans les surfaces réglées, un premier système de lignes asymptotiques s'aperçoit immédiatement : ce sont les génératrices rectilignes. La section normale correspondant à une génératrice, étant cetle génératrice, a, en effet, un rayon de courbure infini. Nous reviendrons tout à l'heure sur la détermination du second système de lignes asymptotiques d'une surface réglée. Pour le moment, bornons-nous aux surfaces réglées dont toutes les génératrices rencontrent deux droites fixes D et D«. On peut d'abord faire

une transformation homographique, telle que la droite D« soit rejetée à l'infini parallèlement à un plan fixe P. La transformée de la surface est alors un conoïde admettant le plan P pour plan directeur ; nous sommes donc ramené à la recherche des lignes asymptotiques d'un conoïde.

Si l'on prend le plan directeur pour plan des xy et la droite D pour axe des z^ l'équation du conoïde est de la forme

On peut poser

En substituant dans l'équation du paragraphe précédent, on trouve, en supprimant le facteur dv qui correspond aux génératrices du conoïde,

d'où, en intégrant,

C étant une constante arbitraire. Dans les projections, les lignes asymptotiques du conoïde sur le plan des xy ont pour équation

2o. Voici une seconde classe assez étendue de surfaces dont on peut trouver, par des quadratures, les lignes asymptotiques. Elle a été signalée par M. Jamet (*). Il s'agit des surfaces représentées en coordonnées homogènes par l'équation

où f est une fonction homogène de x et y, et F une fonction homogène de z et de t, les degi*és d'homogénéité étant, bien entendu, les mêmes. Les surfaces considérées par M. Jamet se ramènent immédiatement aux sur/aces représentées par l'équation

(*) V. Jamet, Sur les courbes et les sur/aces tétraédrales ( Annales de l'École Normale supérieure, 1887).

434 APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES DU CALCUL I>'FiNITÉSIHAL.

Les lignes asjmptotiques de celle surface s'obliennent sans peine. Si Ton pose ^ = w, on a

en subsliluanl dans Téquation

dpdx->r

dqdy

on trouve de suite

La recherche des lignes asymptoliques est donc ramenée à des quadratures.

Une application intéressante du résultat précédent consiste à rechercher les lignes asymptoliques de la surface létraédrale

(sr-(ir*œ"=-

Nous ne diminuerons pas la généralité en prenant la surface sous la forme

qui n'est qu'une transformée homographique de la précédente : elle rentre évidemment dans le ijpe (S). En appliquant la formule trouvée, nous aurons, pour les lignes asvmplo tiques,

u^ du z^ ds

et, si Ton pose it^ = //', :;' = i', Téquation devient

du dv'

ou

u'-v r— = consl.,

relation algébrique entre z et m (on suppose m entier ou fractionnaire). Les lignes asymptoliques de la surface létraédrale sont

donc algébriques, comme l'avait déjà signalé par une autre voie M. Sophus Lie.

On trouverait aussi aisément les lignes asjmptotiques de la surface

dont Téquation rentre dans le type (S).

Je signalerai encore à titre d'exercices et comme types de surfaces dont on peut trouver par quadratures les lignes asymptotiques, les surfaces suivantes indiquées encore par M. Jamet. Soient ar, y y z définies en fonction de u et c par les équations

y et ç étant deux fonctions arbitraires, et a, 6, c trois constantes. Citons aussi la surface connue en stéréotomie sous le nom de sur/ace de l* arrière-voussure Saint-Antoine, Elle est représentée par l'équation

a?* V* -S* rr»y*

M. Rouché (*) a montré qu'en posant

= uv, ^ . = -,

l'équation différentielle des lignes asymptotiques est l'équation qu^on appelle Véquation d^Euler dans la théorie des intégrales elliptiques, pour le cas où le carré du module A- est égal à |.