VI. — Lignes as3rmptotiques de certaines surfaces réglées
26. Nous avons dit qu'un système de lignes asymptotiques d'une surface réglée était formé par les génératrices rectilignes. La recherche du second système se ramène à l'intégration d'une équa-
(^) E. RouCHÉf Sur les lignes asymptotiques d'une sur/ace du quatrième degré (Comptes rendus^ 5 mars 1877).
tion célèbre, dont nous aurons plus tard à faire une étude approfondie.
Traçons sur la surface réglée considérée une courbe arbitraire et désignons par (:??<, y«, ^« ) les coordonnées d'un point variable de cette courbe qui seront des fonctions d'un paramètre t^ et soient a, p, V les cosinus directeurs de la génératrice passant en {x^ ^y^ ^z%) qui seront des fonctions de t. Nous aurons, pour un point quelconque de la surface,
l désignant la distance du point (^, JK> ^) au point (x« ,jk< ? ^\ )• Les coordonnées x^ y^ z d'un point arbitraire de la surface sont donc des fonctions des deux paramètres / et /.
L'équation différentielle des lignes asymptotiques sera donc (§23)
dxi .doL
la seconde et la troisième colonne se déduisant de la première en remplaçant a et Xt par p et^«, puis par y et 2,.
En supprimant le facteur dt, qui correspond aux. génératrices rectilignes, nous obtenons l'équation
^-i-P/»-4-Q/-hR = o,
P, Q, R étant des fonctions déterminées de t. Une telle équation différentielle est connue sous le nom adéquation de Riccati.
De la forme de l'équation précédente, nous allons déduire une propriété des lignes asympto tiques de la surface.
Considérons quatre solutions quelconques /, , /a, /s, /* de celte équation; on aura
^-+-P/fH-Q/,-+.R = o,
En éliminant P, Q, R entre ces quatre équations, il vient
Si
dh dt
dh dt
dh dt
Or le premier membre est la dérivée de On aura donc
— const.
Cette expression représente le rapport anharmotiique des quatre points de rencontre d'une génératrice de la surface avec les quatre lignes asymptotiques considérées. Par conséquent, ce rapport anliarmonique est constant, quelle que soit cette génératrice.
27. Nous allons nous borner maintenant au cas où Ton connaîtrait sur la surface deux lignes asjmpto tiques. 11 est facile de voir que, dans ce cas, une seule quadrature est nécessaire pour trouver toutes les lignes asymplotiques de la surface. On peut procéder de la manière suivante :
Désignons par [jl le paramètre dont dépend la position d'une génératrice. Soient alors, en employant les coordonnées homogènes,
^ = Ml, y = Mj, z = M3, t = M4
les équations de la première ligne asymptotique, les M étant des fonctions de [jl. Soient de même
les équations de la seconde ligne asymptotique, les N étant aussi des fonctions de [jl. La position d'un point quelconque sur la génératrice peut être fixée par les équations
x = M,-hvNi, j^ = M,-t-vN,, ^ = MaH-vN|, / = M4-hvN4.
La relation difTérentielle entre a et v donnant les lignes asymptotiques de la surface pourra s'écrire
rfjjL* d\t. d\i. d\i>
dn\t rfv dNr c?«N,
rfpi* d\i. d\i. dix*
dy.
dv.
dMt
rfN,
dfA,,
Les hypothèses faites sur les lignes M et N permettent de la simplifier. On a, en effet,
et
rfNi rf'N, rfN, rf'N,
rf(X rfji*
rfN» rf«Nt
£/(Jl é/|JL*
L^équation différentielle se réduit alors, comme on^le voit très aisément, à
rf^t
rf(M,+ N.)
dv.
rf(M,+ N,)
rf«(M,^NO
e/»(M,-i-Nj)
C^fX»
rffX rf|A
rfM, rfN,
*'' '^' rfjT rfiT
^ rfMj ^
La recherche des lignes asymptotiques est donc ramenée à une seule quadrature.
28. Une classe particulière de surfaces réglées va nous donner l'occasion d'appliquer les remarques précédentes. Considérons les surfaces réglées dont les génératrices appartiennent à un complexe linéaire.
Reprenant les notations du § 18(Ghap. XI), nous aurons, pour définir une droite, les six coordonnées homogènes
L, M, N, X, Y, Z (LX-+-MY-hNZ = o).
Si ces six coordonnées sont fonctions d'un paramètre arbitraire, la droite engendrera une surface réglée.
Supposons que les génératrices de cette surface appartiennent à un complexe linéaire, c'est-à-dire qu'on puisse déterminer six constantes A, B, G, D, E, F telles que l'on ait, pour toute valeur du paramètre (Chap. XI, § 18),
AL -h BM -h CN -4- DX -h EY H- FZ = o.
Considérant donc une telle surface, je prends sur elle une génératrice arbitraire G. Le plan tangent à la surface en un point de G ne sera pas, en général, le plan correspondant à ce point dans le complexe ou le plan polaire du point. Sur chaque génératrice, il y a seulement deux points jouissant de cette propriété. Considérons, en effet, un plan variable passant par G. Le pôle de ce plan et son point de contact forment sur cette droite une division homographique : les points doubles de cette homographie sont les points pour lesquels le plan polaire est en même temps le plan tangent à la sur/ace. Il est clair que, sur chaque génératrice, ces points seront donnés par une équation du second degré.
Le lieu des points ainsi obtenus forme sur la surface une courbe G. Les tangentes de G font partie du complexe linéaire, car la tangente en un point quelconque de cette courbe est une droite du plan tangent passant par le fojer de ce plan.
La courbe G est une ligne asymptotique de la surface. En effet, les tangentes de cette courbe faisant partie d'un complexe linéaire, le plan polaire de chaque point est le plan osculateur de la courbe d'après le théorème de M. Appell (Ghap. XII, § 26); le plan osculateur à la courbe en chaque point coïncide donc avec le plan tangent à la surface, ce qui est la définition d'une ligne asjmptotique.
Soit un plan quelconque P. Si A est un point où P rencontre la courbe G, le plan polaire de A ou, ce qui est la même chose, le plan tangent en A à la surface devra passer par le foyer F du
44o APPLICATIONS GÉOMfiTRIQUBS DU CALCUL INFINITÉSIMAL.
plan P : donc la droite FA est tangente en A à la section faite par P dans la surface.
Réciproquement, soit A le point de contact d'une tangente menée à cette courbe par le foyer F. Le plan mené par AF et la génératrice de la surface passant en A est tangent en ce point à la surface. D'autre part, le pôle de ce plan est le point A, puisque AFetla génératrice passant en A sont deux droites du complexe; A est donc un point de la courbe C que nous étudions. Ainsi les points où celle-ci rencontre le plan P sont les points de contact des tangentes menées par le foyer F du plan à la section qu'il fait dans la surface.
Ce résultat est particulièrement intéressant quand la surface est algébrique. La ligne G est alors algébrique et Ton peut énoncer le théorème suivant :
La courbe C est d'un degré égal à la classe d'une section plane quelconque de la surface. ^
29. Ainsi sur toute surface réglée dont les génératrices appartiennent à un complexe linéaire, nous pouvons obtenir immédiatement, par un calcul purement algébrique, une ligne asymptotique ; de plus, et c'est là un point important, cette ligne rencontrant chaque génératrice en deux points, nous devons la compter pour deux ( * ). Par conséquent, la recherche des lignes asymptoliques de toute surface réglée, dont les génératrices appartiennent à un complexe linéaire, dépend d* une seule quadrature {§ 27).
Il peut arriver que les génératrices d'une surface réglée appartiennent à une infinité de complexes linéaires. Une ligne asymptotique correspond alors sur la surface à chacun de ces complexes : on a^ dans ce cas, toutes les lignes asymptotiques.
Reprenons les surfaces réglées dont les génératrices rencontrent deux droites fixes D< etD2. Nous avons déjà trouvé leurs lignes asymptotiques, en les transformant homographiquement en un conoïde.
C) E. Picard, Mémoire sur une application de la théorie des complexes linéaires à l'étude des sur/aces et des courbes gauches {Annales de l'École Normale, 1877).
La remarque précédente permet de les obtenir sans calcul. En effet, les droites rencontrant deux droites fixes D, et Dj font partie d'une infinité de complexes linéaires; on Je voit de suite en remarquant que la condition de rencontre de deux droites représentées par les coordonnées
Zi
