MY

i-hM

iY +

NZ,

-i-lN

se réduit à

LX, -+- L,X + MY, -mM, Y -+- NZ, -i- N, Z = o,

comme on s'en assure en écrivant simplement que les deux droites se rencontrent. En désignant donc par (Li, Mi, . . .),(L2,M2, . . .) les coordonnées de D« et D2, une droite quelconque (L, M, . . .) rencontrant ces deux droites vérifie la relation

L(X,-hXXî)H-(LiH-XL2)X4-M(Y,-f-XYj)-+-(M.-4-XM0Y

-h N(Z,-^ XYj) -^- (N, -h X N2)Z = o,

où X est une constante arbitraire. Or cette relation représente l'équation d'un complexe dépendant de l'arbitraire X. Il y a donc bien une infinité de complexes linéaires auxquels appartiennent toutes les droites rencontrant les deux droites fixes D, et D^.

En particulier, toute surface réglée dontles génératrices rencontrent Di et D2 aura ses génératrices appartenant à une infinité de complexes linéaires dépendant d'un paramètre arbitraire. A chacun de ces complexes correspond une ligne asymptolique, et l'ensemble des lignes asymptotiques se trouve ainsi obtenu; nous voyons, de plus, que les lignes asymplotiques de notre surface possèdent la remarquable propriété d'avoir pour tangentes des droites appartenant à un complexe linéaire.

Appliquons ces résultats aux surfaces réglées du troisième ordre. Nous avons déjà étudié (Cliap. XI, § 11) quelques-unes de leurs propriétés. Toutes les génératrices rencontrent deux directrices D« et D2; on peut donc trouver leurs lignes asymptotlques. Celles-ci seront évidemment algébriques, et nous allons avoir leur degré en appliquant le théorème du paragraphe précédent. Il est égal à la classe d'une section plane quelconque de la surface. Or une telle section est une cubique ayant un point double, puisque la surface a une courbe double rectiligne 5 sa classe sera donc égale à quatre. Nous voyons donc que les lignes asymptotlques d' une surf ace

44^ APPLICATIONS GÉ0MÉTR1QCES DU CALCUL INFINITÉSIHAL.

réglée du troisième ordre sont des courbes du quatrième degré, et les tangentes de ces courbes appartiennent à un complexe linéaire, variable d'ailleurs d'une courbe à l'autre. Ces courbes jouissent donc (Ghap. XII, §25) de la propriété remarquable que, par un point A quelconque de l'espace, on peut leur mener quatre plans osculateurs, et les quatre points de contact sont dans un plan passant par A.

30. La recherche analeptique des lignes asjmplotiques d'une surface réglée du troisième ordre n'offre aucune difficulté. Nous avons fait ce calcul d'une manière générale pour les conoïdes; or, nous avons vu que l'équation d'une surface du troisième degré peut, par une transformation homographique, être ramenée à la forme

ax^-^ 7.bxy -^ cy^ ~~ a'x^-h ib' xy -f- c' y^

En restant dans le cas général, une nouvelle transformation permet de supposer que le dénominateur se réduit à xy\ nous avons donc

5 — c- -\-ib ->r a- \ X y'

le second membre est une fonction de -• Appliquant la formule

trouvée pour les conoïdes, nous aurons, comme projections des lignes asjmptotiques sur le plan des xy^^

x^y^= C{cy' — ax^)y

G étant une constante arbitraire. Il est aisé de vérifier que la courbe dans l'espace est du quatrième degré, comme nous l'avons trouvé plus haut.

Nous pouvons, de plus, indiquer une propriété de ces lignes asjmptotiques que nous n'avons pas encore signalée : elfes sont unicursales. Soit, en effet, ^== tx; nous aurons

z = et -{- ib -h-, x^= G(c/»— a).

Or on peut exprimer t en fonction rationnelle d'un paramètre

de manière que sJcC^ — a soit aussi une fonction rationnelle de ce nouveau paramètre; la courbe est donc unicursate.

31. Pour donner un exemple d'une surface réglée dont les génératrices appartiennent à un seul complexe linéaire, considérons la surface définie par les équations

^n^ ^ AtX + B, A^X-t-B, A,X-+-B3

AX-hB' -^ ~ AX^-B AX-+-B'

les A et les B désignant des polynômes arbitraires du second degré par rapport à un paramètre |jl. Ces expressions de x^ y, z en fonction de deux paramètres X et [x définissent une surface réglée : les généralrices correspondent à|jL = const. Celte surface est du quatrième degré; pour le voir, il suffit de chercher l'intersection de cette surface avec une droite quelconque

m X -\- n y -^ p z -h q =o, niix -+- riiy -\-p\Z -\- q\ = o:

on a alors les deux équations en \ et a

X(m Ai-+- n Aj-H/) Aj-h <7 A) -+- m Bj -f- /i Bj-h/? B3-+- /y B = o, X(mi Ai-f- /Il Aj-h/?| A3-1- 71 A) -h //iiBi-f- /iiBi-»-/?iB3-i- ^iB = o.

L'élimination de X donne une équation du quatrième degré en [jl; nous avons donc quatre points de rencontre de la surface avec une droite quelconque.

Les équations (9) définissent donc une surface unicursale du quatrième degré. Toute section plane de la surface est une courbe unicursale du quatrième degré et a, par conséquent, trois points doubles ; la surface considérée a pour courbe double une cubique gauche.

Il est d'ailleurs bien facile de voir que, réciproquement, toute surface du quatrième ordre ayant pour courbe double une cubique gauche est nécessairement une surface réglée unicursale. Prenons, en effet, un point quelconque sur la surface ; on peut par ce point faire passer une sécante double de la cubique gauche : cette droite rencontrant la surface en cinq points est tout entière sur elle. D'autre part, chaque génératrice est déterminée individuellement, une section plane quelconque de la surface étant une courbe uni-

444 APPLIGATIO>'S GÉOMÉTRIQUES DU CALCUL INFINITÉSIHAL.

cursale. On peut montrer, de plus, qu'une telle surface peut être représentée par les équations (9) (Clebsch, Math, Annalen, 1870), mais c'est un point sur lequel je ne m'arrête pas.

Considérant donc la surface réglée représentée par les équations (9), nous allons voir que ses génératrices appartiennent à un complexe linéaire. Il nous faut, pour cela, chercher les six coordonnées (L, M, N, X, Y, Z) d'une génératrice. Celle-ci passe par les deux points

donc on peut prendre

X = ABi— A,B, Y^ABj-AjB, Z = AB3— A5B,

et, en parlant de

on pourra prendre

L = A,Bs- A3B,, M = A3B,— A,B3, N = AjB,— A,Bi.

On voit donc que L, M, N, X, Y, Z sont des polynômes du quatrième degré en ul; de là nous concluons de suite qu'on pourra déterminer six constantes a, p, y. S, e, tj telles que l'identité

aL -}- pM -r- yN 4- aX -4- eY -^ r,Z = o

soit vérifiée. En écrivant celte identité, on obtient en effet cinq relations homogènes et linéaires entre (a, p, . . . , rj). Il y aura donc toujours un comj)lexe, et, en général, un seul auquel appartiendront les génératrices de notre surface.

D'après ce qui a été expliqué plus haut, nous pourrons trouver sur celte surface une ligne asymplotique rencontrant chaque génératrice en deux points. Celte courbe est algébrique, et son degré est égal à la classe d'une section plane quelconque de la surface; or cette section plane, étant une courbe du quatrième degré unicursale, est de sixième classe. Notre ligne asymptotique est donc une courbe gauche du sixième degré. Les autres lignes asymptotiques de la surface s'obtiendront par une seule quadrature; en général, elles ne sont pas algébriques, et la discussion complète montre que leur recherche se ramène à une intégrale elliptique.