I. — Expression du carré de l'élément d'arc sur une surface

i . Soit une surface définie par les trois équations

Le carré de la distance de deux points infiniment voisins correspondant aux valeurs (w, v) e\. {it -\- du^ v -{- dv) des paramètres sera

ds^ = dx^ -+- dy^ -4- dz^

= (£''«+ sf'^")'-*- (1''"-^ l''")'^ (ë''"^ S'^")''

on pourra l'écrire

ds^ = Edu^-^i¥ dudv-^ Gdv^,

en posant

dzy Tu) '

^ dx dx ày ày àz dz ~ Ou dv au dv du dv

o-(sr-(g)'-a'

La forme quadratique binaire

E c?a»-+- 2F dudv^G dv*

joue, depuis Gauss, un rôle fondamental dans la théorie des surfaces; on a évidemment F* — EG <; o.

On peut considérer sur la surface les deux familles de courbes

u = const. et v = const.

Par tout point (m, v) passe, en général, une courbe de la première famille et une courbe de la seconde; l'angle B de ces deux courbes est donné par la formule

dx dx dy dy dz àz au âv au dç du àv

et, par conséquent,

COSO = -;^ •

En particulier, les lignes u = const. et i^ = const. seront orthogonales si F = o.

% Considérons maintenant deux surfaces 5 et S ; on suppose que les coordonnées d'un quelconque de leurs points sont exprimées à Taide des deux mêmes paramètres u et v. Une correspondance se trouve ainsi établie entre les points des deux surfaces. Cherchons à quelles conditions l'angle de deux lignes quelconques de la première surface sera égal à l'angle des deux lignes correspondantes de la seconde. Soient

( 5 ) cis^ = e du* -^if du dv -h g rfi^»,

(S) ds* = Y.du'*--r-%^ dudv-v- G f/p*

les carrés des éléments d'arcs sur l'une et l'autre surface.

Nous prenons sur s un triangle ahc et son correspondant ABC sur S i^fig' 24). Ces deux triangles ont des angles égaux par hypothèse : supposons-les infiniment petits. Les deux triangles rectilignes abc et ABC auront leurs angles égaux à des infiniment petits près. Pour fixer les idées, supposons que le côté bc et, par suite, son correspondant BC soient seuls mobiles, se rapprochant indéfiniment de a et de A; on aura

,. ac ,. ab

'""ac = ''"'âb'

en d'autres termes, le quotient

e du* -t- i/du dv -h g dv* E rfa«H- 2Fdudv-^G dv*

ne dépendra pas de du et dv^ ce qui entraîne les relations

E~F~G* Réciproquement, quand cette condition est remplie, les angles

Fig. a4.

sont bien conservés. Reprenons, en effet, les deux triangles rectilignes abc et ÂBC ; on aura

bc = ab -^ ac — '^ab . ac cos {bac) , BC' = ÂB* -H ÂG* - 2ÂB .ÂG cos ( BAc) .

Or, puisque, d'après les hypothèses, il en résulte que

,. ac ,. ab ,. bc

'""ag = '""âb = '""bg'

lim bac = lim BAC,

c'est-à-dire que les courbes correspondantes se coupent en a et A

sous le même angle.