Nous allons mainlenanl, relativement à l'équation à deux

termes

AV-o,

développer une théorie toute semblable à celle que nous avons étudiée (t. I, p. i4ï) pour l'équation à trois termes. La seule différence va consister en ce que nous nous sommes servi précédemment de la solution particulière U = -> tandis que, maintenant^

c'est la fonction de r, représentée par logr, qui sera prise comme solution particulière [/'désignant toujours la distance d'un point variable (^,jk) ^ "^^ point [a, i)].

Si U et V sont deux fonctions harmoniques continues ainsi que leurs dérivées partielles des deux premiers ordres dans un contour C, on a, d'après la formule de Green,

fX"ii-^'S::h"-

Nous supposons la dérivée prise dans le sens de la normale intérieure à l'aire.

Une remarque est indispensable. Pour pouvoir appliquer en toute sécurité cette formule, on devra le plus souvent supposer que, non seulement les fonctions U et V sont continues dans l'aire limitée par C et sur C lui-mêmey mais qu'il en est de même des dérivées partielles du premier ordre de U et de V ; dans ces conditions, on est assuré que -5— et -,- ont un sens bien déterminé,

^ an an

et l'application de Ja formule ne prête à aucune difficulté.

Ceci posé, V étant une fonction jouissant des propriétés indiquées, prenons

U — logr,

où

En supposant le point A(«, b) à l'intérieur de l'aire, décrivons, de A comme centre, avec un rajon p, un cercle F, et appliquons la formule de Green aux deux fonctions V et logr pour l'aire limitée par les courbes C et F. Il vient ainsi

, d\ cl\o^r\.

FONCTIONS DUNE VARIABLE COMPLEXE. 1

l'inlégrale étant prise le long du contour total. Les dérivées suivant les normales, qui figurent dans celte intégrale, sont prises suivant la normale intérieure à Taire. Si donc on veut considérer, pour la courbe F comme pour la courbe C, les normales intérieures à la courbe géométrique elle-même, on devra écrire

Cette dernière intégrale est facile à calculer. La première partie

est nulle d'après la relation (3). D'autre part

dXosir \ dr i ,

, ^ - :>- " cos(r, /i),

an r an r

en employant les mômes notations qu'au Tome I, p. \/\7, : or, sur la circonférence,

cos(r, /i) = I ;

donc l'intégrale du second membre se réduit à

i fsds.

9 Jr

Elle doit être indépendante du rayon p du cercle Y : or, pour p très petit, elle diffère très peu de

V(a, b) désignant la valeur de V en A ; elle est donc rigoureusement égale à cette quantité, et l'on a la formule fondamenUiU*.

H. Dans le cas où le contour C se réduit â un cjircUi, on peut transformer l'intégrale donnant W<z, h) en une autre, qui ne contienne plus que V. C'est la même transformation que nou* itvons faite (t. 1, p. 147)* Employant les mêmes notations, nous nurouh

l6 CHAPITRE I.

les deux relations

Il suffira de retrancher ces deux formules pour avoir