H =- /EG - F
ou aura
du — I dv = UL I v'E dp -i- —=i-~ dq I ,
et, par suite,
du .09 /=:
au .àf F~iH I — = ut __ — ,
d'où Ton conclut, en éliminant ;jl,
l&q àq] ' ^L<V> '^Pl
^ • > E. BFLTR.uif . Driie r<arial>iii compif^ssf sopm «jhi supernci^ ^mwtiumqme V AnJHfii di Maikematica, j* série, t. \\.
FONCTIONS d'une VARIABLE COMPLEXE. 9
ce qui revient à
oq dp dp
àq Op dp
relations que nous mettrons sous la forme
ôv àp '' Oq
GÎ^-F-.
àv dp dq
Tel est le système (S') qu'on peut regarder comme une généralisation du système (S). La combinaison u -+- iV peut être appelée une fonction complexe du point {p^q) sur la surface S.
La fonction u satisfait évidemment à Téquation
àq àp \__jii àp dq ^ ^^
àp\ /ËG"-F» J ' àq\ /EG~ F«
Cette équation est sur la surface S l^ analogue de Inéquation de Laplace sur le plan. On reconnaît d'ailleurs immédiatement que la fonction v satisfait à la même équation.
Il existe une dépendance très simple entre deux fonctions complexes u -H iV et £/'+ iV sur une surface 2. Des relations
du ->r idv = fJL ^E dp -\ = — dq ,
on conclut
du'-^ idv' = (x' [v^E dp H- ^"^4" ^'A »
du' -h idv' = —idu-^ i dv ),
c'est-à-dire que w'-f- 1<'' e^^ une fonction analytique de w-f-iV(*).
(') On consultera avec grand inlérêl sur ce sujcl le volume de M. Klein intitulé : Ueber liiemann's Théorie der alf^ebraischen Functionen und ihrer Intégrale; Leipzig, 1882.
lO CHAPITRE I.
U. — Formule fondamentale. Les fonctions harmoniques sont analytiques. Détermination unique des fonctions harmoniques par leurs valeurs sur un contour fermé.
8. La formule de Green élablie dans le cas de l'espace (t. I, p. i38) a son analogue dans le plan. Soienl U et V deux fonctions continues de :r et j^ ainsi que leurs dérivées du premier et (In second ordre à rintérieur d'un contour G ; formons l'intrgrale double, étendue à Taire que limite cette courbe,
, dx dy.
Ox Oy dy J
Kn se servant de Tidentité
Ox ôx ôx \ Ox J bx"^
on a de suite
et pareillement
et, par conséquent,
ou
I ^ Ç\}^ds-ffy^ti\dxdy,
la dérivée -j- étant prise dans le sens de la normale intérieure à
la courbe.
Gette formule nous sera très ulile. La formule de Green s'obtiendra en permutant U et V dans le second membre, ce qui ne change pas le premier. On en conclut
J(^U~ ^\'^^ys-^fJ{V ^\ --\ M)dxdy
FONCTIONS d\nE YARIABLE COMPLEXE. Il
En particulier, si Ton fait U = i, on aura
Une remarque est ici nécessaire, rclativemenl à la dérivée -7-
prise dans le sens de la normale intérieure. El, d'ahord, comment définir d'une manière générale la normale intérieure? Nous avons défini (t. 1, p. -jS) le sens positif sur un contour C, en nous servant d'une petite circonférence (v) décrite dans le sens de Ox vers Oy par rapport à son centre P. Cette circonférence (y), transportée dans le voisinage et à V intérieur du contour C, de manière à être tangente en un point A du contour, fixe sur celui-ci la direction de la normale intérieure, qui est celle qui va du point A au point P.
Cette direction fait un angle -\ — ^ avec la direction positive de
la tangente, mais elle est absolument déterminée, quel que soit la disposition des axés Ox, Oy, 11 en est de même des cosinus des angles que la normale intérieure fait avec les axes de coordonnées, de telle sorte que la dérivée
dW d\ ,^' - d\ ,^-N.
-,- — — cos(T.n) -^. cos(v./i),
dn dx ^ Oy *^ ^*
prise dans le sens de la normale intérieure, a bien, comme on devait s'y attendre, une signification déterminée indépendante du sens qui se trouvera être le sens positif sur le contour.
Ceci posé, revenons aux intégrales de la forme / U -zj-^s- Dans
une pareille intégrale, on considère ds comme un élément essentiellement positif; elle est complètement déterminée par ce fait
que --.- est prise dans le sens de la normale intérieure, et, dès
lors, il ny a pas lieu de parler du sens dans lequel on effectue l'intégration sur le contour.
9. Indiquons, comme applications de la relation (3), quelques problèmes de Physique mathématique où intervient Téquation AV = o.
Un de ces problèmes est relatif à la dislribulion de la température dans une plaque isotrope en équilibre calorifique. Nous n'avons pas à rappeler ici comment Fourier, dans sa Théorie mathématique de la chaleur, a été conduit à montrer que la quantité de chaleur qui, dans le temps dt^ passe à travers un arc ds du plan est représentée par
K-j-ds dt, an
-T- désignant la dérivée de la température V dans le sens de la
normale à l'arc ds et K un coefficient constant. L'équilibre calorifique étant supposé élabli, la température V ne dépendra que de X et^. Considérons une courbe fermée G; la quantité de chaleur passant^ dans l'unité de temps, à travers celte courbe (>, sera représentée par l'intégrale
, ds.
dn
Or, cette quantité de chaleur devra être nulle ; dans le cas contraire, en effet, la chaleur s'accumulerait à l'intérieur de G et la température varierait avec le temps. On doit donc avoir, pour toute courbe fermée.
-7- ds — o, dn
ce qui entraine, d'après la formule (3),
I ClX dx dy r:= n,
pour une aire quelconque. On doit donc avoir identiquement
En transportant, comme l'a fait Ohm, de la chaleur à l'électricité les principes de Fourier, on aura la même équation pour le potentiel électrique V dans une plaque conductrice traversée par des courants permanents.
Un troisième exemple nous sera fourni par le mouvement permanent sur un plan d'un fluide incompressible et homogène. Soient u{x^y) et i'(.r, x) les projections sur Ox et Oy de la vitesse de la molécule fluide coïncidant, à un certain moment, avec le point
FONCTIONS d'une VARIABLE COMPLEICE. l3
(jr,y). Considérons un clément, que nous pouvons supposer recliligne ds^ et qui passe par {x^y) ; nous allons évaluer la niasse du fluide passant pendant le temps dt par cet élément. Cette masse sera sensiblement celle d^in parallélogramme de base ds^ et dont Taulre côté a pour projections sur les axes u dt et s^dt. Si cosa et cos^ désignent les cosinus directeurs de la normale à r/.ç, la masse sera alors
p ( M cos Ct-T- V cos p ) dt,
p désignant la densité superficielle du fluide.
Or, la masse contenue à l'intérieur d^une courbe fermée C ne peut changer pendant la durée du mouvement, puisque le fluide est incompressible et homogène ; on aura donc
/ ( a cos a -*- i' cos ^^)ds -= o.
Or, supposons que u et ç^ soient les dérivées partielles d'une fonction 'f (j^,JK)î ce qui correspond au cas où il n'y a pas de tourbillons dans le fluide. On aura alors
I ( -~ cosa -h — '- cos 3 W* — o J^,\Ox ôy "^ I
ou bien
/ -^ ds = o.
J^ an
On en conclut que la fonction îp,appelée/?o^eAi^fV?/rfe5v//es5e5('),
satisfait à l'équation
Acp = o.
Les considérations précédentes, relatives au mouvement d'un fluide sur un plan, peuvent être étendues au mouvement permanent d'un fluide sur une surface ; c'est ce qu'a fait M. Klein dans l'Ouvrage que nous avons déjà cité, et auquel nous renverrons (p. 17). On retombe ainsi sur les équations de M. Beltrami indiquées dans la Section précédente.
(*) Pour tout ce qui concerne les applications de la théorie de l'équation de Laplace à la Mécanique des fluides, on étudiera surtout radmirablc Traite de Kircbhoflf : Vorlesungen uber malkemalische Physik.
l4 CHAPITRB I.
