J^, \ dn an I
puisque — est constant pour tous les points du cercle. Des deux relations {loc, cit,)
l\= R' -h r\ — •>. R Ti coscpi , on tire de suite la valeur de
dlogri e/logr dn dn
c'est-à-dire de
COSCp COSîpi
en se rappelant que
//i = Rî et ~ = K-
On trouve ainsi
formule qui donne, dans le cas du cercle, la valeur de la fonction V en un point (a, b) quelconque du cercle en fonction de ses valeurs sur la circonférence.
Si nous introduisons les coordonnées polaires (/*, f) du point (a, b) (on fera attention que r et tp n'ont pas la même signification que précédemment et que r notamment remplace /), la formule précédente pourra s'écrire
(4) V(a,6) = -/ R.,Hrcos(i,-?) + r.'^^-
FONCTIONS D UNB VARIABLE COMPLEXE
Nous avons déjà éludié l'intégrale précédente (t. I, p. 248) sous le nom ^intégrale de Poisson; nous avons seulement fait R = i, ce qui, à cause du degré zéro d'homogénéité de l'intégrale en R et r, n'a aucune importance.
12. De l'expression (4) de la fonction V, on conclut d'abord que, si une fonction harmonique bien déterminée et continue pour toute valeur de or et j^ reste toujours moindre, en valeur absolue.
qu'une quantité fixe M, elle doit nécessairement se réduire à une constante. On a, en effet, en désignant par V^ la valeur de la fonction à l'origine, et quel que soit le rayon R >► r du cercle C,
ORcosTd' — 9) — r . , 111
r ^- 5 — , y — r est momdre en valeur absolue que
R* — 2Krcos(4' — ?)-+-'** ^
— rr« On aura donc
.lie
|V(a,6)-V.|<-jf I V I -p^-^ di < -^p-^ M.
Or R est aussi grand que l'on veut; par suite, la quantité fixe I V(a, b) — Vo I est rigoureusement nulle.
Nous retrouverons plus tard cette propriété, sous le nom de théorème de Liouville, à propos des fonctions d'une variable complexe.
13. Une autre propriété très importante de la fonction harmonique résulte encore de l'intégrale précédente. P. — II.
l8 CHAPITRE I.
Définissons seulement auparavant ce que nous entendons par fonction analytique de deux variables réelles x et^. Nous dirons qu'une fonction réelle et bien déterminée /*(^, /) des deux variables réelles x ç^ly est analytique dans une certaine région du plan, quand, dans le voisinage de tout point (^©j^o) ^^ cette région, on peut représenter la fonction par un développement en série
^tn désignant un polynôme homogène de degré m en jr — x^ ^l y — j^o? ce développement étant valable pour toute valeur de x et y pour lesquelles
\x — x^\ et I7— ^oI<p,
p étant une quantité suffisamment petite, et si, de plus, la série ne cesse pas d'être convergente quand on remplace, dans tous les polynômes cp, chaque terme par sa valeur absolue.
Il est aisé de démontrer que la dérivée d'un ordre quelconque de la fonction /{x^y) peut se représenter par la série formée avec les dérivées du même ordre des fonctions cp ; c'est une conséquence immédiate des propriétés des séries entières d'une variable étudiées précédemment (t. I, p. 199), puisque, l'ordre des termes étant indifférent, on pourra, avant chaque différentiation, ordonner la série suivant les puissances de la variable par rapport à laquelle on intègre. Ajoutons que, les coefficients du développement représentant, à un facteur binômial près, les valeurs des dérivées partielles de la fonction pour :r = o, ^ = o, un tel développement ne peut être identiquement nul sans que toutes les fonctions cp soient identiquement nulles.
14. Cette définition bien comprise, nous allons montrer que toute fonction V satisfaisant à Inéquation AV = o, continue ainsi que ses dérivées partielles des deux premiers ordres dans une certaine aire, est une fonction analytique.
Soit un point quelconque de l'aire que nous allons prendre pour origine, décrivons de ce point comme centre un cercle de rayon R. Reportons-nous à la formule (4) qui détermine V(a, b)
FONCTIONS d'une VARIABLE COMPLEXE. I9
en un point quelconque (a, b) de ce cercle. On a
R«— 2Rr cosO -+- r* R — re'^ R — re-*& '
or
avec une identité analogue en changeant i en — t. On aura donc
zrz 7Z Tî ^^ - = l-h2> -rr-COSnCd/ — 9)
"^ ÏÏ^ [ R — rei^^-9> "^ R — re-'t4'-<P' J *
En substituant dans Fintégrale, et remarquant que le reste tend vers zéro, puisque ^ est plus petit que Funité, on obtient la rela-
tion
11=1 en posant
J{^) désignant la valeur de V sur le contour.
Le développement précédent a pour terme général un polynôme homogène et de degré n en a et b; en effet,
ûf = rcos«p, 6 = rsin«p, (a -+- ib)'^ = r» cosncp -+- ir*» sin /i ^ :
donc r" cosncp et r" sin/icp sont des polynômes homogènes de degré/î.
Nous avons donc pour V(a, b) un développement de la forme
Or, si dans f m(^7 ^) on remplace chaque terme par sa valeur abso-
20 CnAPITRE 1.
lue, l'expression irouvée sera moindre que
en désignant par M la limite supérieure, évidemment existante, des valeurs absolues des coefficients Un et bn. Or soit
le terme général de la série, chaque terme particulier ajant été remplacé par sa valeur absolue, sera inférieur à
R si donc p <; -> la nouvelle série sera encore convergente. Nous
sommes donc assuré que, pour
la série qui représente V(a, b) converge de la manière indiquée dans notre définition d'une fonction analytique. La fonction V est donc analytique,
15. En désignant maintenant par x^y au lieu de a, b les deux variables, nous avons dans le voisinage de tout point (xo,^o) le développement
Chacune des fonctions homogènes cp satisfera à Téquation de Laplace.
De ce développement on peut conclure que la fonction V ne peut avoir en un point (^o»^o) ^* maximum ni minimum. Soit, en efiet, dans le voisinage de ce point,
Ja fonction Çm(^ — -^o?^ — J^o) devra, dans le voisinage de (xo, y 9)1 gsirder un signe invariable. Or, cela est impossible, puisque.
en posant, on a
FONCTIONS D*IJNE VARIABLE COMPLEXE. 2r
^m= r'nidmcosmo -\- bm sinm©),
et que l'équation a^cosm^ -{- bmsmm^ = o a toujours des racines qui sont simples.
Le même théorème peut s'établir en suivant la même marche que Gauss poui^le cas de trois variables (t. I, p. i45). Nous avons vu, en effet, en établissant la formule fondamentale (§ 10), que
Va=-!- fvds,
r étant un cercle de rayon p ayant A pour centre.
Si le point A correspondait à un maximum de la fonction, on aurait sur la circonférence F, pour p suffisamment petit,
V<Va, d'où
fwds< fvKds, Jp t/p
c'est-à-dire
— f\ds<\A,
ce qui est en opposition avec l'égalité écrite plus haut.
16. Nous allons tirer immédiatement une conséquence importante du théorème établi au paragraphe précédent. Étant donné un contour fermé G, montrons qu'iV ne peut y avoir plus d'une /onction harmonique continue ainsi que ses dérivées partielles des deux premiers ordres dans l'aire limitée par G, et prenant en tous les points de ce contour une succession donnée de valeurs.
Nous supposons, tout au moins pour le moment, que la succession des valeurs données sur le contour forme une suite continue. Désignant, d'une manière générale, parV^i» cette série de valeurs en un point quelconque m du contour, nous entendons par fonction V, prenant ces valeurs sur le contour, une fonction V(jr,j^)
qui tend vers V^, quand le point (x^y) tend vers le point m d'une manière quelconque, en restant à l'intérieur du contour (*).
Ceci posé, s'il existait deux fonctions jouissant des propriétés précédentes, leur différence U satisferait encore à l'équation de Laplace et s'annulerait en tous les points du contour. Dans ces conditions, elle devrait avoir au moins un maximum ou un minimum pour un point situé à l'intérieur du contour, mais cela est impossible, d'après ce que nous avons vu précédemment. La foncr tion U est donc identiquement nulle, ce qui démontre le théorème.
17. Donnons, du théorème précédent, une autre démonstration, où nous aurons à considérer une intégrale double qui a joué un rôle important dans cette théorie. Faisons, dans la formule préliminaire de Green, V = U, elle deviendra
Supposons maintenant que U soit la fonction du paragraphe précédent, s'annulant en tous les points de G, la formule se réduira à
et l'on devra avoir, pour tous les points de l'intérieur de l'aire,
àU dV
par suite, la fonction U est constante à l'intérieur de l'aire; nulle sur le bord, elle est donc nulle aussi à l'intérieur.
Il est important de remarquer que, dans le calcul précédent, on fait implicitement une hypothèse dont nous n'avions pas eu besoin dans la première démonstration. Pour que l'intégrale curvi-
(') On trouvera dans un important Mémoire de M. Painlevé {Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse^ t. II, p. 19) des remarques intéressantes relatives à cette notion de fonction prenant une valeur donnée sur un arc de courbe.
PROBLÈMES RELATIFS A l'ÉQUATION DE LAPLAGE. 23
ligne
fv^ds Je ^^
soit nulle, il faut supposer, en général, que --7- ne devienne pas
infini. Aussi, dans cette seconde démonstration, on doit se borner aux intégrales qui restent continues à l'intérieur du contour et sur le contour, ainsi que leurs dérivées partielles du premier ordre.
m. — Extension à Féquation linéaire générale du second ordre de quelques-uns des résultats obtenus pour l'équation de Laplaoe.
18. Quittons maintenant, pour un instant, l'équation particulière
Ali = o,
et cherchons s'il est possible d'étendre à des équations plus générales quelques-uns des résultats précédents (*). Nous prendrons d'abord l'équation
d^u d^u ,du du . __
dx* dy^ dx ày *^ '
où dy e, /sont des fonctions continues quelconques de x tly.
Supposons qu'il existe deux intégrales de cette équation, continues dans une aire A limitée par un contour C et prenant les mêmes valeurs sur ce contour. Nous supposons de plus que leurs dérivées partielles du premier ordre restent continues sur le contour. Leur différence, que nous désignons par U, s'annulera sur C. Formons l'intégrale double
étendue à l'aire A; cette intégrale sera évidemment nulle, puisque la quantité entre crochets est nulle. Donc, en intégrant par parties et se rappelant que U = o sur le bord, on a immédiate-
(') E. Picard, Comptes rendus, 1888, tt Journal de Mathématiques j 1890.
a4 CHAPITRE I.
ment
Un premier résultat apparaît immédiatement. Si dans Taire A on a pour tout point (^,^')
dd de .^
l'intégrale précédente ne pourra être nulle que si l'on a en tous
les points de l'aire
Ainsi, en particulier, l'équation
satisfera à la condition précédente dans toute région du plan où / est négatif.
19. L'artifice suivant va nous permettre d'aller plus loin. Gardons toujours pour U la même signification que plus haut. Si B et B' sont deux fonctions continues quelconques de x et ^, on aura
puisque U = o est nul sur le bord.
Nous pouvons donc écrire, en ajoutant (5) et (6),
-*-»B'u^+u«(^e + ^ + -jJ^rfr = o,
en posant
dd de
àx oy ''
Or la quantité entre crochets sous le signe d'intégration est une
PROBLÈMES RELATIFS A l'ÉQUATION DE LAPLACE. 25
forme quadratique en U, t— et -r- • Elle peut s'écrire Elle sera toujours positive si
Si donc on peut trouver deux fonctions B et B' de x et y^ continues dans l'aire A et vérifiant l'inégalité précédente, on sera assuré que U est nulle en tous les points de l'aire, si elle est nulle en tous les points du contour. De là peut se déduire une conséquence intéressante.
Nous allons faire voir que, quelle que soit la fonction continue 6(x,^), on peut déterminer deux fonctions B et B' satisfaisant à l'inégalité (7), et continues dans une aire, si celle-ci satisfaite une certaine condition.
Pour le montrer, remplaçons — 9 par sa plus grande valeur absolue + m*, quand {x^ y) reste dans une certaine région du plan. Nous aurons à satisfaire à l'inégalité
ox 0y et cette dernière inégalité entraînera évidemment la précédente.
Or faisons B'= o et prenons B, fonction de x seul, satisfaisant à la relation
m\ étant une constante supérieure à m*. On aura
B = mi tang(mix -i- C), C étant une constante.
En choisissant convenablement cette constante, la fonction B reste continue dans tout intervalle donné compris entre deux parallèles à l'axe des y et dont la distance est moindre que — • Puisque m^ diffère aussi peu qu'on veut de m, on peut dire que,
pour toute aire comprise dans une bande parallèle à l'axe des y et •de largeur moindre que — > on se trouve dans les conditions d'application du théorème. D'autre part, en faisant une transformation de coordonnées rectangulaires, on aura, pour chaque direction nouvelle de l'axe Oy^ un nombre m. En désignant par m le plus grand d'entre eux, et posant
'nous pouvons énoncer le théorème suivant :
Pour tout contour situé dans la région considérée du plan, il ne peut y avoir plus d'une intégrale continue prenant des valeurs données sur le contour, pourvu que le contour se trouve compris entre deux droites parallèles dont la distance ne dépasse pas d.
Il est d'ailleurs nécessaire de sous-entendre toujours la condition de continuité sur le contour pour les dérivées partielles du -premier ordre.
En particulier, on est assuré de se trouver dans les conditions d'application du théorème si le contour est suffisamment petit.
