PI

tpt . •

'^pp

Dans chaque ligne horizontale se trouvent les périodes de l'inté grale normale correspondant à cette ligne.

15. Il existe entre les périodes de deux intégrales quelconques de première espèce une relation remarquable. Soient I et i deux telles intégrales, dont nous désignons les périodes respectivement par

c/, et dh \ ,

T/i et 0/,

Considérons l'intégrale

/i di.

On peut lui appliquer le théorème de Cauchy relativement au

contour R; elle sera nulle. La seule discussion à faire, pour s'en convaincre, est relative aux points à l'infini sur les feuillets et aux points de ramification ; elle se fait comme pour l'intégrale étudiée au paragraphe précédent. Nous avons donc

Jf \ di =i o.

Le calcul de cette intégrale est entièrement analogue à celui de

XéfY;

les périodes de I et de i remplacent seulement respectivement celles de X et de Y. Nous aurons donc

Il résulte de cette égalité que nous avons entre les périodes de/) intégrales de première espèce

relations, en l'appliquant de toutes les manières possibles à deux de ces intégrales. Ces relations prennent une forme particulièrement simple pour les intégrales normales J. Ainsi prenons J|

et J2 : on a de suite

— 'n-h'^îi = o.

D'une manière générale, il vient

Ces égalités sont fondamentales,

16. Nous terminerons cette étude des intégrales de première espèce, en indiquant une nouvelle égalité, conséquence d*ailleurs de l'inégalité fondamentale et qui joue dans la théorie des fonctions abéliennes un rôle capital. Considérons l'intégrale

nti Ji-+- /Wj J2 -h. . .-h tTip J

py

DES INTÉGRALES ABÉUBimES. 4^3

Cl les m sont des constantes réelles quelconques, et appliquons à es périodes Tinégalité (9). En posant

tAA = '^'kh -^ ^'Ihf

m trouve, après quelques réductions très simples,

^ ffi/i rtik 'cj/i > o ( A, X: = 1 , 2, . . . , /> ). n peut donc énoncer que la forme quadratique en //«, ,

2 "^^ ^^^ '^/' ^st définie et positive.