L'intégrale générale de première espèce est de la forme

(II) 2 (AA.-+-iBA-)lA-,

les A et B désignant des constantes réelles quelconques et les 1 représentant des intégrales linéairement indépendantes. Désignons celle intégrale par X -f- i Y ; les ip périodes de X seront

kr.p

Je dis qu'on peut choisir les ip constantes k^ et Ba de manière que ces 2/? périodes prennent telles valeurs que l'on voudra. Il sufGt pour cela de faire voir que le déterminant des coefficients de A^ et B>t dans ces ip formes linéaires ne peut être nul. Pour le mootrer, remarquons simplement que, si ce déterminant était nul, on pourrait choisir les A et B, non tous nuls, de manière à annuler toutes les périodes de X. On aurait alors une intégrale (ii) pour laquelle les parties réelles de toutes les périodes seraient nulles. Or cette circonstance ne peut se présenter pour une intégrale de première espèce ne se réduisant pas à une constante, comme le montre l'inégalité (lo) qui ne peut être vérifiée quand toutes les lettres pourvues d'un seul accent sont nulles. Ënonçons donc ce théorème :

On peut former une intégrale de première espèce pour laquelle les parties réelles des 'xp périodes ont des valeurs arbitrairement données.

Une conséquence immédiate est que les ip périodes d'une intégrale arbitraire de première espèce sont distinctes. On se rappelle la définition des périodes distinctes (p. 2i3 de ce Volume).

4lO CHAPITRE XIV.

Il est impossible ici qu'il existe entre les périodes d'une intégrale arbitraire de première espèce une relation homogène et linéaire à coefficients entiers puisque les parties réelles des périodes peuvent être choisies arbitrairement.

Comme nous avons eu déjà l'occasion de le remarquer (p. 216), le nombre des périodes, pour une intégrale déterminée de première espèce, peut être inférieur à 2/?, mais nous ferons la remarque que le nombre des périodes distinctes d'une intégrale de première espèce fie peut être inférieur à deux.

Supposons en effet qu'une intégrale 1 de première espèce n'ail qu'une seule période co. Considérons alors l'expression (')

Cette expression n'aura qu'une seule valeur en chaque poini (vT, r) de la surface de Riemann. D'autre part, elle reste toujours finie; elle devrait donc se réduire à une constante (Chap. XIII, j^ 27), ce qui est absurde.

14. Indiquons maintenant ce qu'on entend par intégrale normale de première espèce. Cherchons à déterminer p intégrales de première espèce J|, J2, ..., 3p pour lesquelles les périodes correspondant aux coupures D|, D,, ..., D^, forment le Tableau suivant :

On partira pour cela des p intégrales linéairement indépendantes li, I2, . . ., I/y et l'on déterminera les constantes aj, aj, ..., Xp de manière que les périodes de

(l'X) «1 I| -h aj Ij -f-. . .-h a,, ï,,

(') On reconnaîtra là sous une forme plus condensée la généralisation du raisonnement fait à la page 216.

DBS INTÉGRALES ABÉLIENMES. 4^1

correspondant aux coupures D aient successivement les valeurs correspondant à ce Tableau. 'On aura ainsi à résoudre successivement/? systèmes de p équations du premier degré. Il est essentiel de remarquer que le déterminant commun de ces systèmes n^est pas nul, car, s'il en était ainsi, on pourrait choisir les a (non tous nuls) de manière que les périodes de (12) correspondant aux coupures D soient toutes nulles, ce qui est en contradiction avec l'inégalité fondamentale (10) où toutes les lettres d ne peuvent s'annuler simultanément.

Il est évident d'ailleurs que les intégrales J ainsi déterminées sont linéairement indépendantes, car aucune combinaison linéaire des J ne peut se réduire à une constante sans que les coefficients soient nuls, comme on le voit tout de suite en égalant à zéro les périodes relatives aux coupures D d'une telle combinaison.

On appelle les intégrales J les intégrales normales de première espèce. Nous désignerons par le Tableau suivant le Tal3leau des périodes des intégrales normales :

tjl

Tjj . .