V. — Des intégrales de seconde espèce
17. Nous avons désigné d'une manière générale sous le nom ^intégrales de seconde espèce les intégrales n'ayant sur la surace de Riemann d'autres points singuliers que des pôles. Nous lions former a priori une intégrale de seconde espèce ajant un ^eul pôle. Soit (Ç, tj) un point arbitraire de la surface de Rie- ^iiann et désignons par
Cl 3) ax -\- by -r- c = o
M 'équation de la tangente à la courbe /(j:, ^') = o au point (Ç, Tj).
J'envisage l'intégrale
où V{x^y) représente un polynôme adjoint de degré m — 1 s'annulant pour les m — a points simples de rencontre, en dehors du point de contact, de la droite (i3) avec la courbe /. Cherchons d'abord le nombre des constantes arbitraires figurant dans V{x^ y). Ce nombre sera au moins égal à
c'est-à-dire à/? + i . Mais on aperçoit de suite une famille de po-
4l4 CHAPITRE XIY.
lynômes P(x,y) remplissant les conditions requises et dépendai de p paramètres ; elle est fournie par
Q(^> y) ^^^^^ '^ polynôme général adjoint d'ordre m — 3 qui m a joué le rôle fondamental dans la théorie des intégrales de pre^^^emière espèce. Pour une telle valeur de P, l'intégrale (i4} se r^:^^duit à une intégrale de première espèce; mais, puisque la familH 'le générale des polynômes P(x, ^'), satisfaisant aux conditions ind: Miàiquées, dépend au moins de p -\- i paramètres arbitraires, il y aur:^ Jra certainement un polynôme P(x, j^) ne contenant pas (ax-^by-^-c^ c) en facteur, et, par suite, ne s^annulant pas en (5, r^). Pour un t^^ -^el polynôme, Y intégrale (i4) ^st de seconde espèce. Il suffit, pou^i-^ur rétablir, de remarquer que cette intégrale devient infinie a .^sau point (Ç, '/)) de la surface de Riemann et en ce point seulement^ ^t- Cet infini est nécessairement un pôle; on pourrait le vérifier di rectement, mais on évitera tout calcul en remarquant qu'une in tégrale ne peut avoir un seul infini logarithmique d'après la rela tion
démontrée au § 3 de ce Chapitre. Le pôle est d'ailleurs évidemment un pôle simple.
Nous avons dit plus haut que le nombre des constantes figuran dans P était au moins/? + i, ignorant a priori si la dispositio particulière des points qui déterminent le réseau de courbes n'é lèverait pas le nombre des constantes au-dessus du nombre p H- i qui est celui que donne la numération directe. En fait, on peu voir que ce nombre sera/? -i- i : en effet, si Ton a deux polynôme Pj et Pa ne s'annulant pas en (Ç, tj), on peut choisir la constante de manière que P| — aP^ s'annule en (Ç, r,); on a alors
Donc P| ne dépend que de/? -H i constantes.
Soit n une intégrale (i4) de seconde espèce ayant lepôle(Ç,7,) il résulte de ce qui précède que toutes les intégrales de second*
DES INTÉGRALES ABÉLIRNNBS. ^\0
espèce ayant le pôle simple ($, ^i) seront de la forme
les I représentant/? intégrales distinctes de première espèce, a et les ^ des constantes arbitraires.
18. Nous pouvons choisir a de manière que le résidu de Tintégrale (i5) relativement au pôle (Ç, i^) soit V unité. De plus, on peut choisir les p de manière que les périodes de (i5) relatives aux coupures D soient nulles. On a alors une intégrale de seconde espèce parfaitement déterminée; nous l'appellerons V intégrale normale de seconde espèce relative au point (Ç, r^). Désignons-la par E; ses périodes seront
o ... o e^ ej ... e
Les périodes e, relatives aux coupures C, ont des valeurs extrèrnement simples que nous allons maintenant faire connaître.
Considérons à cet effet, avec Riemann, l'intégrale
ErfJ
^ù Ja est une intégrale normale de première espèce. Cette inté- 5^rale prise le long du contour K n'est plus nulle ici, comme celle :^ue nous avons considérée au § 14, puisque la fonction E a un ^ôle au point (5, rj, mais nous aurons, d'après le théorème de Cauchy étendu aux surfaces de Riemann,
: i6) rErfJ/ir=9.Tr/.R,
rîn désignant par R le résidu de
dx
Jpar rapport au pôle (Ç, vi). Calculons de suite ce résidu; le résidu <le E étant l'unité, et -t^> c'est-à-dire -^-^Vr" — > restant fini pour
dx J y
4l6 CHAPITRE XIV.
(;,T.), on aura
en dosignani, bien entendu, par Qh{^9y) le polynôme adjoint ifordre m — 3 correspondant à l'intégrale normale J/i.
Quant au calcul de l'intégrale figurant dans le premier membre de ^ii)\ il est entièrement analogue à celui que nous avons eu à faire au § II; les périodes de E el J^ remplacent celles de I et /. On a immédiatement
Ainsi les périodes de V intégrale normale de seconde espèce reiaiive à un pôle (Ç, ^j) s^ expriment d^une manière algébrique.
lU. Prenons maintenant sur la surface p points (çi, r,,), \\^> ^ia)> • • • > (5/»> ^i/»)î qui vont rester fixes, mais à qui nous donnons une position arbitraire , el envisageons les intégrales normales de seconde espèce correspondantes E|, Ej, ..., E^. Nous aillons montrer qu'aucune combinaison linéaire à coefficients constants des ip intégrales
ne peut se réduire à une fonction rationnelle de {x^y).
Il faudrait et il suffirait pour cela que toutes les périodes de Al El 4- Aj Ej -+-. . .-h \p Ep -h Bi Ji -h. . .-+- B^ J^
fussent nulles. Pour que les périodes relatives aux D soient nulles
(m doit avoir
Bi = Bj = . . . = Bp = o.
I^cs périodes relatives aux coupures G seront nulles si Ton a
Al Q/,(5i, r^i) -h Aj Q/,({,, T,j) H-. . .-^ Ap Q/,($/,. T)^,) = o
Mais ces/> relations entraînent nécessairement
Al ^ \f ^ . . . = \p ^^ O,
