DES INTÉGRALES ABÉLIENNES. ^IJ

^ le délerminanl

Qi ($!,>;,) Q,($î,r,,) ... Qi(?,.,r,p)

^^^ peut être nul si les p points (Ç|, vi,), . . ., (Ç^, ti^) ont été pris ^t*l)i Irai renient (§ 10), et la combinaison formée est alors identiquement nulle.

Nous pouvons donc dire que nous aidons formé ip intégrales de />remière et de seconde espèce linéairement indépendantes , en entendant ici par intégrales linéairement indépendantes des intégrales dont aucune combinaison linéaire n^est rationnelle en (jc, y). Il \\y a aucune confusion à craindre pour les deux sens clans lesquels, suivant les cas, nous entendons les mots linéairement indépendants. Quand il sera question d'intégrales de seconde espèce, il s'agira toujours du sens que nous venons d'indi- C|uer. Il est clair que le déterminant d'ordre ip formé avec les périodes de nos 2/? intégrales n'est pas nul.

20. Toute autre intégrale de seconde espèce s'exprime linéaiï^cîment à l'aide des 9,p intégrales précédentes et d'une fonction *"alionuelle. Soit en clTet H une intégrale absolument quelconque <ie seconde espèce. Nous pouvons choiiir les constantes A et B de janière que les ip périodes de

< 17) Il-r- A, E, 4-...H- Ap Kp4-Bi J, -f-...-T- By, J

aboient nulles; d'après ce que nous avons dit plus haut, le déterinant des 2/? équations du premier degré ainsi obtenues ne sera as nul. L'expression (17) n'ayant pas de périodes et n'ayant que es pôles sera une fonction rationnelle de (j:, y)^ et nous pouons, par suite, énoncer que toutes les intégrales de seconde "espèce s'expriment à Vaide de 2/? d'entre elles, linéairement ndépendantes, et d'une fonction rationnelle de (x^y).

On pourrait démontrer le théorème précédent, qui est capital, 'une manière purement algébrique, en s'appuyant sur la réduction que nous avons donnée Tome l(p. Sa et suiv.) pour les intéf2;rales de différentielles algébriques. Du moins, on peut voir faci- P. - II. 27

.418 CHAPITRE XIT.

lemenl ainsi que toutes les intégrales de seconde espèce sont réductibles à ip d'entre elles et a une partie rationnelle en ( j?, >- ), mais il serait moins simple dVtablir directement que ces ip intégrales sont linéairement indépendantes. Nous n^insisterons pas sur ce genre de démonslralions.

21. De même que nous avons cherché une relation entre les périodes de deux intégrales de première espèce, on peut de la même manière trouver une relation entre les périodes d'une intégrale de première espèce et celles d'une intégrale de seconde espèce. Reprenons l'intégrale arbitraire H de seconde espèce, et soit I une certaine intégrale de première espèce; on considérera (încore Tintégrale

prise le long du contour K. Cette intégrale sera égale au produit de 2 771 par la somme des résidus relatifs aux différents pôles de la

fonction H-^-; cette somme R pourra être facilement calculée

dans chaque cas, et Ton aura par suite la relation chei*chée

Zu ^^'^ ^à —^hdh) — 2TΫ.R,

en désignant respectivement par c/i, d/i et y^, o^ les périodes de H et 1.