VI. — Des intégrales de troisième espèce

22. L'étude des intégrales de troisième espèce se fait d'après les mêmes principes que celle des intégrales de seconde espèce. Partons ici d'une droite quelconque ax -h by + c = o, et, parmi les m points de rencontre de cette droite avec la courbe y, considérons-en deux particulièrement (51,*^),) et {\2yf\2)\ nous les désignerons simplement, pour abréger, par les points Ç, et $3. Ceci posé, formons encore l'intégrale

J {ax~r- by -{-€)//

DES INTÉGRALES ABÉLIENNBS. 4^9

P(j:, y) étant un polynôme adjoint d'ordre m — 2 s*annulant pour les m — 2 points de rencontre de aa?4-6j^4-c= o avec/", distincts de Ç| et $2- Sous ces conditions, l'intégrale précédente deviendra infinie pour $| et Ç^, si le polynôme P ne s'annule pas en ces deux points. On montrera comme plus haut que le polynôme P renferme p -h i constantes arbitraires et qu'il existe un polynôme V{x,y) ne s'annulant pas pour Ç, et ^21 lous les autres étant de la forme

aiV{x,y) -^iax^by-^c){ ^j Qj -h p, Qj -h. . .-t- ^p Qp).

Li'intégrale ainsi obtenue aura les deux points \^ et Ç3 comme infiinis logarithmiques; dans le voisinage du premier, la fonction de-

'V'iendra infinie comme

Alog(j: — Ç,),

étant une constante, c'esl-à-dire qu'elle sera égale à l'expression précédente augmentée d'une fonction holomorphe dans le 'Voisinage de Ç|. Elle deviendra infinie, pour x = Ça, comme

— Alog(ar — {,)•

Les coefficients des logarithmes sont égaux et de signe contraire

d'après la relation \^ A = o du § 3.

On peut choisir la constante a de manière que A= i, et, de plus, les constantes p peuvent être déterminées de telle sorte que les périodes relatives aux coupures D de notre intégrale de troisième espèce soient toutes nulles. On a alors une intégrale de troisième espèce que nous appellerons intégrale normale de troisième espèce relative aux points Ç| et ^3. Nous la désignerons par

les parties logarithmiques de cette intégrale sont respectivement

pour Ç| et ^2

-hlog(ar— îi) et — log(ar — Ç,),

et les périodes relatives aux D sont toutes nulles. Nous allons calculer les périodes relatives aux coupures C; l'intégrale a de plus une période polaire 2'n£ relative aux points singuliers logarithmiques.

420 CHAPITRE XIT.

23. Les périodes cycliques de S^^^^ relatives aux coupures C et que nous désignerons par 5|, ^a, ..., Sp, ont une forme très simple; nous allons les trouver en suivant la même voie que pour les intégrales de seconde espèce. Considérons toujours le contour K sur la surface de Riemann {Jig* 5a), puis réunissons les points Ç| et Ç2 p^i* ^^^ ligne ne rencontrant pas K et dont

nous faisons une nouvelle coupure que nous joindrons par une autre coupure a^ à un point quelconque de K. Appelons R' \e contour K modifie par cette addition, et supposons-le parcouru dans le sens des flèches de la ligure. 11 est manifeste que Tinlégrale

(18) f\l.dh

prise le long du contour K' est nulle, J/i désignant toujours une intégrale normale de première espèce. Nous aurons coniine valeur des éléments en m et m'

en m Sp t dJf,

on m' — (Sç ç H- 'n:i)dJ/t

dont la somme donne

— l'zidJft,

et, j>ar suite, la valeur de Fintégrale (18) sur les deux bords de la coupure (ii, $2) <?st

— a ri / dJ/i .

IjCs intégrales des deux bords de la coupure a^ se détruisent et il reste à évaluer Tintégrale relative au contour K. Or c'est un calcul que nous avons déjà fait à diflerentes reprises^ Tiiitégrale

DES INTÉGRALES ABÉLIENNES. 4^1

se réduit à s^ et nous avons donc

S/t = 9.Tzil dJ/t (/t = 1,2, ...,/?),

formule qui fait connaître les périodes, relatives aux C, de Tinlégraie normale de troisième espèce.

24. 11 est facile de voir (|ue toute intégrale de troisième espèce est une somme d'intégrales normales de troisième espèce et dUine intégrale de seconde espèce. Supposons que l'intégrale n considérée ait /* points singuliers logarithmiques a^ , «2» •••? «r avec les coefficients correspondants A| , A2, ..., A,. satisfaisant nécessairement ù la relation

Al -4- A j -T- ... -h A,. = o.

Formons les intégrales normales de troisième espèce

et la combinaison linéaire

On peut choisir les B de manière que cette somme devienne infinie en «1, ^2j • • • 7 ctr comme l'intégrale FI. On n*a qu'à écrire

Br-i — Br- i = Ar-1,

et ces r équations compatibles, en vertu de ^A=o, déterminent les B. Ces coefficients étant ainsi choisis, l'intégrale

n — (Bi Srtjrt, -T-. . . -+- B/.i Sfl^jfl^)

n'aura plus de points singuliers logarithmiques : ce sera une intégrale de seconde espèce.