Démontrons maintenant le théorème important connu sous

le nom de théorème de V échange du paramètre et de V argument»

On trace sur la surface de Riemann, rendue simplement codnexe au moyen du contour K, deux coupures (Ç|, ^2) 6t(a,,a2i ne coupant pas K et ne se coupant pas entre elles. Formons alors les deux intégrales normales de troisième espèce

qui sont des fonctions uniformes sur la surface affectée des coupures indiquées. Pour avoir un contour unique, nous joindroi^Si

comme plus haut, les coupures \x ^2 ^t les coupures ai a^ au contour K : on forme avec toutes ces coupures un contour unique K'. Nous avons la relation

^Sx,a, = o,

d'après le ihéorème fondamental de Cauchj étendu aux surfaces de Riemann. La partie de Tintégrale relative au contour K sera nulle puisque les périodes relatives aux coupures D des deux fonctions S sont nulles. Il reste simplement à considérer les intégrales relatives aux coupures (Ç, ç^^ et (ai aj). La première nous donne, par un calcul tout a fait analogue à celui du § 23,

^3l,!Xt

Pour avoir la seconde, remarquons que le long d'une ligne entourant les deux points a|, a^ on a, en intégrant par parties,

I S: s «'>a. a. = — / Sj.i, </S: t ;

DES INTÉGHALES ABÊLIENNES. 4^3

or la seconde intégrale donnera de suite, pour la coupure ai a.»,

if aoç,ç, On a donc Tégalité

qui exprime le théorème de V échange du paramètre et de U argument.

26. Nous terminerons ces généralités sur les intégrales abéliennes en revenant au théorème d'Abel, sommairement étudié su § 5 de ce Chapitre, et en lui donnant pour les intégrales de troisième espèce une forme très commode pour les applications. Nous allons d'ailleurs employer encore une fois la considération d'intégrales de la forme

^{}dW,

étendues h un circuit convenable de la surface de Riemann, intégrales que ce grand géomètre a employées si heureusement pour l'étude des propriétés fondamentale^ des intégrales abéliennes des trois espèces, comme on vient de le voir dans les paragraphes précédents. Soit toujours Sç^^^ l'intégrale normale de troisième espèce correspondant aux points \s et ^2) ^t désignons par

les équations de deux courbes de degré n, La première rencontre la courbe y en ma points a,, aa, ..., ^mn c^ la seconde en mn points pi, p2i •••? ^mn- Après avoir tracé sur la surface de Riemann le contour K et la coupure Çi Ç2? nous joignons par des arcs de courbe ces points de rencontre deux à deux, en nous arrangeant de manière que les lignes

ne se coupent pas entre elles et ne coupent pas le contour K ni la coupure \% Çj. Nous allons considérer les lignes précédentes comme des coupures que nous joindrons au contour K par des

coupures auxiliaires ainsi que la coupure $| $2? el nous désignons par ¥J le contour total ainsi formé. Ces constructions faites, for-

mons rintégrale

Elle sera nulle; or il est facile de calculer sa valeur en raisonnanl comme nous Pavons déjà fait à diflTérentes reprises.

La fonction logy n'ayant pas de périodes cycliques, la partie

de rintégrale précédente relative à K sera nulle. D'autre part,

l'intégrale relative aux coupures auxiliaires est évidemment nulle. Calculons la valeur de l'intégrale pour une coupure a>i ^>^ ; nous aurons

^\lt-

Pour rintégrale relative à la coupure Çi Ça, on substituera, aprrs intégration par parties, Tinlégrale

-/sç,ç,./log|;

et, par suite, on aura

It

en désignant par (f ) la valeur de la fonction rationnelle ? au point Ç,. Il vient donc finalement

h — tnn