DES INTÉGRALES AB(^LIB^NES

C'est le théorème d^Abel pour l'intégrale normale de troisième espèce. Pour l'avoir sous une forme qui corresponde aux généralités indiquées plus haut (§ 5), il suffit de considérer une famille de courbes

\{x^yj a,, rtj, . . . , a,.) — o

dé[)endant de r paramètres arbitraires qui figurent rationnellement dans cette équation.

Supposons que la courbe ç corresponde à des valeurs numériques fixes données aux paramètres, tandis que i^ correspondra à des valeurs arbitraires de ces paramètres. On voit que le second membre sera le logarithme d'une fonction rationnelle de ces paramètres; ceci est d'accord avec le premier énoncé que nous avons donné du théorème d'Abcl (*).

27. Le théorème d'Abel pour les intégrales de première espèce se démontrera évidemment par la même voie; on aura seulement à considérer l'intégrale

log I <n,

I désignant une intégrale de première espèce. Il n'y a pas ici de points Ç| et Ç2? et l'on a de suite

J'ajoute seulement encore une remarque importante sur l'application du théorème d'Abel aux intégrales de première espèce.

Considérons un faisceau de courbes adjointes d'ordre m — 2. Ce faisceau contiendra

(m — 2)(mH-i) v^ i(i — i)

— y,°^i ; O" ^ — 2-hp

paramètres entrant d'une manière non homogène.

(*) Celte forme du théorème d'Abel, ainsi que le théorème sur l'échange du paramètre et de l'argument, ont été donnés par Clebsch et Gordan dans leur Ouvrage classique : Théorie der Abelschen Functionem (1866).