CHAPITRE XIV. — DES INTÉGRALES ABÉLIENNES

Or le nombre des points de rencontre décavée les courbes ^e ce faisceau est

m {m — '2 ) — ^ «I • ' ( * — 0 ou m — 2 -:- a/).

On pourra donc prendre m — 2 -hp points arbitrairement et les p autres s'ensuivront, leurs coordonnées étant fonctions algébriques des coordonnées des premiers. Ceci posé, nous pouvons établir que ia somme d'un nombre quelconque d'intégrales abéliennes de première espèce est égale à une somme de p intégrales dont les limites sont des fonctions algébriques des limites des premières. Nous voulons dire par là que la somme

des k intégrales

If '"'

OÙ {jCqjJ'o) est un point fixe de la courbe, peut s'exprimer par une somme de ;d intégrales

OÙ les {^\^ Tjx) sont des fonctions algébriques des (^r^, J'a)-

La démonstration est immédiate : il suffit de montrer l'exaclitude du théorème pour p -f- 1 intégrales. Or, parmi les m — 2 -:-y? points de rencontre dont nous disposons arbitrairement, supposons que p -t- i coïncident avec les limites données de nos intégrales, les autres étant des points fixes. L'application du théorème d'Abel nous permettra d'exprimer la somme des p -!- I intégrales par une somme de p intégrales dont les limites sont fonctions algébriques des p -f- i premières limites. La proposition est donc établie.